Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108354 / 99801
↖ ↑ ↗
← S 68.098931°
E117.603150°		 ← 113.90 m → S 68.098931°
E117.605896°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.099956°
E117.603150°		 ← 113.90 m →
12 975 m²		 S 68.099956°
E117.605896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826679229736328 y=0.761425018310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826679229736328 × 217)
    floor (0.826679229736328 × 131072)
    floor (108354.5)     		tx = 108354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761425018310547 × 217)
    floor (0.761425018310547 × 131072)
    floor (99801.5)     		ty = 99801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108354 / 99801 ti = "17/108354/99801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108354/99801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108354 ÷ 217
    108354 ÷ 131072     		x = 0.826675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99801 ÷ 217
    99801 ÷ 131072     		y = 0.761421203613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826675415039062 × 2 - 1) × π
    0.653350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05256217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761421203613281 × 2 - 1) × π
    -0.522842407226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.64255786548122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05256217} λ = 2.05256217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64255786548122))-π/2
    2×atan(0.19348450147023)-π/2
    2×0.191122880039577-π/2
    0.382245760079155-1.57079632675     		φ = -1.18855057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05256217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.603150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18855057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.098931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108354 KachelY 99801 2.05256217 -1.18855057 117.603150 -68.098931
    Oben rechts KachelX + 1 108355 KachelY 99801 2.05261010 -1.18855057 117.605896 -68.098931
    Unten links KachelX 108354 KachelY + 1 99802 2.05256217 -1.18856845 117.603150 -68.099956
    Unten rechts KachelX + 1 108355 KachelY + 1 99802 2.05261010 -1.18856845 117.605896 -68.099956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18855057--1.18856845) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18855057--1.18856845) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05256217-2.05261010) × cos(-1.18855057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373005087221325 × 6371000     		do = 113.901590634301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05256217-2.05261010) × cos(-1.18856845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372988497573867 × 6371000     		du = 113.896524785876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18855057)-sin(-1.18856845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373005087221325-0.372988497573867)×R²
    abs(2.05261010-2.05256217)×1.6589647458376e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6589647458376e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6589647458376e-05×40589641000000     		ar = 12974.6380328185m²