Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108345 / 99849
↖ ↑ ↗
← S 68.148055°
E117.578430°		 ← 113.66 m → S 68.148055°
E117.581177°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.149077°
E117.578430°		 ← 113.65 m →
12 918 m²		 S 68.149077°
E117.581177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826610565185547 y=0.761791229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826610565185547 × 217)
    floor (0.826610565185547 × 131072)
    floor (108345.5)     		tx = 108345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761791229248047 × 217)
    floor (0.761791229248047 × 131072)
    floor (99849.5)     		ty = 99849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108345 / 99849 ti = "17/108345/99849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108345/99849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108345 ÷ 217
    108345 ÷ 131072     		x = 0.826606750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99849 ÷ 217
    99849 ÷ 131072     		y = 0.761787414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826606750488281 × 2 - 1) × π
    0.653213500976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05213074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761787414550781 × 2 - 1) × π
    -0.523574829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.64485883666299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05213074} λ = 2.05213074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64485883666299))-π/2
    2×atan(0.193039811014391)-π/2
    2×0.190694200868717-π/2
    0.381388401737435-1.57079632675     		φ = -1.18940793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05213074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.578430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18940793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.148055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108345 KachelY 99849 2.05213074 -1.18940793 117.578430 -68.148055
    Oben rechts KachelX + 1 108346 KachelY 99849 2.05217867 -1.18940793 117.581177 -68.148055
    Unten links KachelX 108345 KachelY + 1 99850 2.05213074 -1.18942577 117.578430 -68.149077
    Unten rechts KachelX + 1 108346 KachelY + 1 99850 2.05217867 -1.18942577 117.581177 -68.149077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18940793--1.18942577) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dl = 113.65863999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18940793--1.18942577) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dr = 113.65863999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05213074-2.05217867) × cos(-1.18940793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372209466500755 × 6371000     		do = 113.658638275957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05213074-2.05217867) × cos(-1.18942577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372192908267721 × 6371000     		du = 113.653582020304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18940793)-sin(-1.18942577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372209466500755-0.372192908267721)×R²
    abs(2.05217867-2.05213074)×1.6558233034758e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6558233034758e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6558233034758e-05×40589641000000     		ar = 12917.9989075676m²