Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108344 / 100136
↖ ↑ ↗
← S 68.439589°
E117.575684°		 ← 112.24 m → S 68.439589°
E117.578430°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.440598°
E117.575684°		 ← 112.23 m →
12 599 m²		 S 68.440598°
E117.578430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826602935791016 y=0.763980865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826602935791016 × 217)
    floor (0.826602935791016 × 131072)
    floor (108344.5)     		tx = 108344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763980865478516 × 217)
    floor (0.763980865478516 × 131072)
    floor (100136.5)     		ty = 100136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108344 / 100136 ti = "17/108344/100136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108344/100136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108344 ÷ 217
    108344 ÷ 131072     		x = 0.82659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100136 ÷ 217
    100136 ÷ 131072     		y = 0.76397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82659912109375 × 2 - 1) × π
    0.6531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05208280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.5279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65861672685394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05208280} λ = 2.05208280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65861672685394))-π/2
    2×atan(0.190402176240822)-π/2
    2×0.188150081405868-π/2
    0.376300162811737-1.57079632675     		φ = -1.19449616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05208280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.575684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19449616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.439589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108344 KachelY 100136 2.05208280 -1.19449616 117.575684 -68.439589
    Oben rechts KachelX + 1 108345 KachelY 100136 2.05213074 -1.19449616 117.578430 -68.439589
    Unten links KachelX 108344 KachelY + 1 100137 2.05208280 -1.19451378 117.575684 -68.440598
    Unten rechts KachelX + 1 108345 KachelY + 1 100137 2.05213074 -1.19451378 117.578430 -68.440598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19449616--1.19451378) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dl = 112.257020001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19449616--1.19451378) × R
    1.76200000001625e-05 × 6371000     		dr = 112.257020001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05208280-2.05213074) × cos(-1.19449616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367482034277936 × 6371000     		do = 112.23847225597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05208280-2.05213074) × cos(-1.19451378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367465647081364 × 6371000     		du = 112.233467184331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19449616)-sin(-1.19451378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367482034277936-0.367465647081364)×R²
    abs(2.05213074-2.05208280)×1.6387196572043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6387196572043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6387196572043e-05×40589641000000     		ar = 12599.2754980624m²