Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108342 / 99789
↖ ↑ ↗
← S 68.086634°
E117.570191°		 ← 113.96 m → S 68.086634°
E117.572937°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.087659°
E117.570191°		 ← 113.96 m →
12 989 m²		 S 68.087659°
E117.572937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826587677001953 y=0.761333465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826587677001953 × 217)
    floor (0.826587677001953 × 131072)
    floor (108342.5)     		tx = 108342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761333465576172 × 217)
    floor (0.761333465576172 × 131072)
    floor (99789.5)     		ty = 99789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108342 / 99789 ti = "17/108342/99789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108342/99789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108342 ÷ 217
    108342 ÷ 131072     		x = 0.826583862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99789 ÷ 217
    99789 ÷ 131072     		y = 0.761329650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826583862304688 × 2 - 1) × π
    0.653167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05198693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761329650878906 × 2 - 1) × π
    -0.522659301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64198262268578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05198693} λ = 2.05198693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64198262268578))-π/2
    2×atan(0.193595834054293)-π/2
    2×0.191230192919523-π/2
    0.382460385839047-1.57079632675     		φ = -1.18833594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05198693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.570191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18833594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.086634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108342 KachelY 99789 2.05198693 -1.18833594 117.570191 -68.086634
    Oben rechts KachelX + 1 108343 KachelY 99789 2.05203486 -1.18833594 117.572937 -68.086634
    Unten links KachelX 108342 KachelY + 1 99790 2.05198693 -1.18835383 117.570191 -68.087659
    Unten rechts KachelX + 1 108343 KachelY + 1 99790 2.05203486 -1.18835383 117.572937 -68.087659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18833594--1.18835383) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18833594--1.18835383) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05198693-2.05203486) × cos(-1.18833594) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37320421863044 × 6371000     		do = 113.962397805625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05198693-2.05203486) × cos(-1.18835383) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373187621137211 × 6371000     		du = 113.9573295614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18833594)-sin(-1.18835383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37320421863044-0.373187621137211)×R²
    abs(2.05203486-2.05198693)×1.65974932286872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65974932286872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65974932286872e-05×40589641000000     		ar = 12988.8250356803m²