Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108340 / 101532
↖ ↑ ↗
← S 69.805517°
E117.564697°		 ← 105.44 m → S 69.805517°
E117.567444°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.806465°
E117.564697°		 ← 105.43 m →
11 117 m²		 S 69.806465°
E117.567444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826572418212891 y=0.774631500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826572418212891 × 217)
    floor (0.826572418212891 × 131072)
    floor (108340.5)     		tx = 108340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774631500244141 × 217)
    floor (0.774631500244141 × 131072)
    floor (101532.5)     		ty = 101532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108340 / 101532 ti = "17/108340/101532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108340/101532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108340 ÷ 217
    108340 ÷ 131072     		x = 0.826568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101532 ÷ 217
    101532 ÷ 131072     		y = 0.774627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826568603515625 × 2 - 1) × π
    0.65313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05189105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.54925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72553663872354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05189105} λ = 2.05189105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72553663872354))-π/2
    2×atan(0.178077462864474)-π/2
    2×0.176230114176147-π/2
    0.352460228352295-1.57079632675     		φ = -1.21833610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05189105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21833610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.805517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108340 KachelY 101532 2.05189105 -1.21833610 117.564697 -69.805517
    Oben rechts KachelX + 1 108341 KachelY 101532 2.05193899 -1.21833610 117.567444 -69.805517
    Unten links KachelX 108340 KachelY + 1 101533 2.05189105 -1.21835265 117.564697 -69.806465
    Unten rechts KachelX + 1 108341 KachelY + 1 101533 2.05193899 -1.21835265 117.567444 -69.806465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21833610--1.21835265) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21833610--1.21835265) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05189105-2.05193899) × cos(-1.21833610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34520783731164 × 6371000     		do = 105.435359164638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05189105-2.05193899) × cos(-1.21835265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345192304654687 × 6371000     		du = 105.430615091394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21833610)-sin(-1.21835265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34520783731164-0.345192304654687)×R²
    abs(2.05193899-2.05189105)×1.55326569525327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55326569525327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55326569525327e-05×40589641000000     		ar = 11116.8594347103m²