Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108335 / 42734
↖ ↑ ↗
← N 52.938707°
E117.550965°		 ← 184.03 m → N 52.938707°
E117.553711°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.937052°
E117.550965°		 ← 184.04 m →
33 873 m²		 N 52.937052°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826534271240234 y=0.326038360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826534271240234 × 217)
    floor (0.826534271240234 × 131072)
    floor (108335.5)     		tx = 108335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326038360595703 × 217)
    floor (0.326038360595703 × 131072)
    floor (42734.5)     		ty = 42734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108335 / 42734 ti = "17/108335/42734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108335/42734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108335 ÷ 217
    108335 ÷ 131072     		x = 0.826530456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42734 ÷ 217
    42734 ÷ 131072     		y = 0.326034545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826530456542969 × 2 - 1) × π
    0.653060913085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05165137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326034545898438 × 2 - 1) × π
    0.347930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09305718513652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05165137} λ = 2.05165137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09305718513652))-π/2
    2×atan(2.98338089257405)-π/2
    2×1.24737553584887-π/2
    2.49475107169775-1.57079632675     		φ = 0.92395474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05165137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.550965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92395474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.938707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108335 KachelY 42734 2.05165137 0.92395474 117.550965 52.938707
    Oben rechts KachelX + 1 108336 KachelY 42734 2.05169930 0.92395474 117.553711 52.938707
    Unten links KachelX 108335 KachelY + 1 42735 2.05165137 0.92392585 117.550965 52.937052
    Unten rechts KachelX + 1 108336 KachelY + 1 42735 2.05169930 0.92392585 117.553711 52.937052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92395474-0.92392585) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dl = 184.05818999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92395474-0.92392585) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dr = 184.05818999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05165137-2.05169930) × cos(0.92395474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602669029796328 × 6371000     		do = 184.03223835685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05165137-2.05169930) × cos(0.92392585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602692083512132 × 6371000     		du = 184.039278086307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92395474)-sin(0.92392585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602669029796328-0.602692083512132)×R²
    abs(2.05169930-2.05165137)×2.30537158043553e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30537158043553e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30537158043553e-05×40589641000000     		ar = 33873.2885557312m²