Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108335 / 42263
↖ ↑ ↗
← N 53.711339°
E117.550965°		 ← 180.73 m → N 53.711339°
E117.553711°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
N 53.709713°
E117.550965°		 ← 180.74 m →
32 667 m²		 N 53.709713°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826534271240234 y=0.322444915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826534271240234 × 217)
    floor (0.826534271240234 × 131072)
    floor (108335.5)     		tx = 108335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322444915771484 × 217)
    floor (0.322444915771484 × 131072)
    floor (42263.5)     		ty = 42263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108335 / 42263 ti = "17/108335/42263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108335/42263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108335 ÷ 217
    108335 ÷ 131072     		x = 0.826530456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42263 ÷ 217
    42263 ÷ 131072     		y = 0.322441101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826530456542969 × 2 - 1) × π
    0.653060913085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05165137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322441101074219 × 2 - 1) × π
    0.355117797851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11563546485757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05165137} λ = 2.05165137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11563546485757))-π/2
    2×atan(3.05150668845333)-π/2
    2×1.25411802065862-π/2
    2.50823604131723-1.57079632675     		φ = 0.93743971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05165137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.550965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93743971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.711339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108335 KachelY 42263 2.05165137 0.93743971 117.550965 53.711339
    Oben rechts KachelX + 1 108336 KachelY 42263 2.05169930 0.93743971 117.553711 53.711339
    Unten links KachelX 108335 KachelY + 1 42264 2.05165137 0.93741134 117.550965 53.709713
    Unten rechts KachelX + 1 108336 KachelY + 1 42264 2.05169930 0.93741134 117.553711 53.709713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93743971-0.93741134) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93743971-0.93741134) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05165137-2.05169930) × cos(0.93743971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591853672646894 × 6371000     		do = 180.729638942522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05165137-2.05169930) × cos(0.93741134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591876539917472 × 6371000     		du = 180.736621738686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93743971)-sin(0.93741134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591853672646894-0.591876539917472)×R²
    abs(2.05169930-2.05165137)×2.28672705784305e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28672705784305e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28672705784305e-05×40589641000000     		ar = 32666.6584436694m²