Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108335 / 100080
↖ ↑ ↗
← S 68.382996°
E117.550965°		 ← 112.50 m → S 68.382996°
E117.553711°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.384008°
E117.550965°		 ← 112.49 m →
12 657 m²		 S 68.384008°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826534271240234 y=0.763553619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826534271240234 × 217)
    floor (0.826534271240234 × 131072)
    floor (108335.5)     		tx = 108335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763553619384766 × 217)
    floor (0.763553619384766 × 131072)
    floor (100080.5)     		ty = 100080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108335 / 100080 ti = "17/108335/100080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108335/100080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108335 ÷ 217
    108335 ÷ 131072     		x = 0.826530456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100080 ÷ 217
    100080 ÷ 131072     		y = 0.7635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826530456542969 × 2 - 1) × π
    0.653060913085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05165137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65593226047522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05165137} λ = 2.05165137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65593226047522))-π/2
    2×atan(0.190913991148972)-π/2
    2×0.188643944144848-π/2
    0.377287888289696-1.57079632675     		φ = -1.19350844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05165137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.550965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19350844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.382996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108335 KachelY 100080 2.05165137 -1.19350844 117.550965 -68.382996
    Oben rechts KachelX + 1 108336 KachelY 100080 2.05169930 -1.19350844 117.553711 -68.382996
    Unten links KachelX 108335 KachelY + 1 100081 2.05165137 -1.19352610 117.550965 -68.384008
    Unten rechts KachelX + 1 108336 KachelY + 1 100081 2.05169930 -1.19352610 117.553711 -68.384008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19350844--1.19352610) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19350844--1.19352610) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05165137-2.05169930) × cos(-1.19350844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36840046471671 × 6371000     		do = 112.495513758907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05165137-2.05169930) × cos(-1.19352610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36838404673656 × 6371000     		du = 112.49050033116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19350844)-sin(-1.19352610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36840046471671-0.36838404673656)×R²
    abs(2.05169930-2.05165137)×1.64179801496744e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64179801496744e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64179801496744e-05×40589641000000     		ar = 12656.7974598933m²