Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108333 / 42737
↖ ↑ ↗
← N 52.933741°
E117.545471°		 ← 184.09 m → N 52.933741°
E117.548218°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.932086°
E117.545471°		 ← 184.10 m →
33 884 m²		 N 52.932086°
E117.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826519012451172 y=0.326061248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826519012451172 × 217)
    floor (0.826519012451172 × 131072)
    floor (108333.5)     		tx = 108333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326061248779297 × 217)
    floor (0.326061248779297 × 131072)
    floor (42737.5)     		ty = 42737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108333 / 42737 ti = "17/108333/42737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108333/42737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108333 ÷ 217
    108333 ÷ 131072     		x = 0.826515197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42737 ÷ 217
    42737 ÷ 131072     		y = 0.326057434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826515197753906 × 2 - 1) × π
    0.653030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05155549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326057434082031 × 2 - 1) × π
    0.347885131835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09291337443766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05155549} λ = 2.05155549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09291337443766))-π/2
    2×atan(2.98295188133186)-π/2
    2×1.24733219823537-π/2
    2.49466439647074-1.57079632675     		φ = 0.92386807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05155549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.545471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92386807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.933741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108333 KachelY 42737 2.05155549 0.92386807 117.545471 52.933741
    Oben rechts KachelX + 1 108334 KachelY 42737 2.05160343 0.92386807 117.548218 52.933741
    Unten links KachelX 108333 KachelY + 1 42738 2.05155549 0.92383918 117.545471 52.932086
    Unten rechts KachelX + 1 108334 KachelY + 1 42738 2.05160343 0.92383918 117.548218 52.932086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92386807-0.92383918) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92386807-0.92383918) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(0.92386807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602738189434644 × 6371000     		do = 184.091757534215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(0.92383918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602761241641312 × 6371000     		du = 184.098798271496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92386807)-sin(0.92383918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602738189434644-0.602761241641312)×R²
    abs(2.05160343-2.05155549)×2.3052206668317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3052206668317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3052206668317e-05×40589641000000     		ar = 33884.2436406502m²