Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108333 / 42721
↖ ↑ ↗
← N 52.960220°
E117.545471°		 ← 183.98 m → N 52.960220°
E117.548218°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
N 52.958566°
E117.545471°		 ← 183.99 m →
33 840 m²		 N 52.958566°
E117.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826519012451172 y=0.325939178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826519012451172 × 217)
    floor (0.826519012451172 × 131072)
    floor (108333.5)     		tx = 108333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325939178466797 × 217)
    floor (0.325939178466797 × 131072)
    floor (42721.5)     		ty = 42721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108333 / 42721 ti = "17/108333/42721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108333/42721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108333 ÷ 217
    108333 ÷ 131072     		x = 0.826515197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42721 ÷ 217
    42721 ÷ 131072     		y = 0.325935363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826515197753906 × 2 - 1) × π
    0.653030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05155549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325935363769531 × 2 - 1) × π
    0.348129272460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09368036483158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05155549} λ = 2.05155549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09368036483158))-π/2
    2×atan(2.98524065439165)-π/2
    2×1.24756327470997-π/2
    2.49512654941993-1.57079632675     		φ = 0.92433022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05155549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.545471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92433022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.960220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108333 KachelY 42721 2.05155549 0.92433022 117.545471 52.960220
    Oben rechts KachelX + 1 108334 KachelY 42721 2.05160343 0.92433022 117.548218 52.960220
    Unten links KachelX 108333 KachelY + 1 42722 2.05155549 0.92430135 117.545471 52.958566
    Unten rechts KachelX + 1 108334 KachelY + 1 42722 2.05160343 0.92430135 117.548218 52.958566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92433022-0.92430135) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dl = 183.930769999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92433022-0.92430135) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dr = 183.930769999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(0.92433022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602369357563821 × 6371000     		do = 183.979106787134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(0.92430135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602392401851647 × 6371000     		du = 183.986145105796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92433022)-sin(0.92430135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602369357563821-0.602392401851647)×R²
    abs(2.05160343-2.05155549)×2.30442878252912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30442878252912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30442878252912e-05×40589641000000     		ar = 33840.0660593236m²