Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108333 / 101586
↖ ↑ ↗
← S 69.856654°
E117.545471°		 ← 105.18 m → S 69.856654°
E117.548218°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.857600°
E117.545471°		 ← 105.17 m →
11 056 m²		 S 69.857600°
E117.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826519012451172 y=0.775043487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826519012451172 × 217)
    floor (0.826519012451172 × 131072)
    floor (108333.5)     		tx = 108333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775043487548828 × 217)
    floor (0.775043487548828 × 131072)
    floor (101586.5)     		ty = 101586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108333 / 101586 ti = "17/108333/101586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108333/101586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108333 ÷ 217
    108333 ÷ 131072     		x = 0.826515197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101586 ÷ 217
    101586 ÷ 131072     		y = 0.775039672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826515197753906 × 2 - 1) × π
    0.653030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05155549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775039672851562 × 2 - 1) × π
    -0.550079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72812523130302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05155549} λ = 2.05155549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72812523130302))-π/2
    2×atan(0.17761708898281)-π/2
    2×0.175783855314585-π/2
    0.35156771062917-1.57079632675     		φ = -1.21922862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05155549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.545471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21922862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.856654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108333 KachelY 101586 2.05155549 -1.21922862 117.545471 -69.856654
    Oben rechts KachelX + 1 108334 KachelY 101586 2.05160343 -1.21922862 117.548218 -69.856654
    Unten links KachelX 108333 KachelY + 1 101587 2.05155549 -1.21924512 117.545471 -69.857600
    Unten rechts KachelX + 1 108334 KachelY + 1 101587 2.05160343 -1.21924512 117.548218 -69.857600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21922862--1.21924512) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21922862--1.21924512) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(-1.21922862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344370046466423 × 6371000     		do = 105.179476275773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(-1.21924512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344354555658621 × 6371000     		du = 105.174744984336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21922862)-sin(-1.21924512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344370046466423-0.344354555658621)×R²
    abs(2.05160343-2.05155549)×1.54908078024429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54908078024429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54908078024429e-05×40589641000000     		ar = 11056.3756353985m²