Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108333 / 100083
↖ ↑ ↗
← S 68.386031°
E117.545471°		 ← 112.50 m → S 68.386031°
E117.548218°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.387043°
E117.545471°		 ← 112.50 m →
12 658 m²		 S 68.387043°
E117.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826519012451172 y=0.763576507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826519012451172 × 217)
    floor (0.826519012451172 × 131072)
    floor (108333.5)     		tx = 108333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763576507568359 × 217)
    floor (0.763576507568359 × 131072)
    floor (100083.5)     		ty = 100083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108333 / 100083 ti = "17/108333/100083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108333/100083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108333 ÷ 217
    108333 ÷ 131072     		x = 0.826515197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100083 ÷ 217
    100083 ÷ 131072     		y = 0.763572692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826515197753906 × 2 - 1) × π
    0.653030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05155549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763572692871094 × 2 - 1) × π
    -0.527145385742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.65607607117408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05155549} λ = 2.05155549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65607607117408))-π/2
    2×atan(0.190886537648584)-π/2
    2×0.188617455951338-π/2
    0.377234911902677-1.57079632675     		φ = -1.19356141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05155549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.545471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19356141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.386031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108333 KachelY 100083 2.05155549 -1.19356141 117.545471 -68.386031
    Oben rechts KachelX + 1 108334 KachelY 100083 2.05160343 -1.19356141 117.548218 -68.386031
    Unten links KachelX 108333 KachelY + 1 100084 2.05155549 -1.19357907 117.545471 -68.387043
    Unten rechts KachelX + 1 108334 KachelY + 1 100084 2.05160343 -1.19357907 117.548218 -68.387043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19356141--1.19357907) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19356141--1.19357907) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(-1.19356141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368351219728463 × 6371000     		do = 112.503943865395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05155549-2.05160343) × cos(-1.19357907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368334801403724 × 6371000     		du = 112.498929286412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19356141)-sin(-1.19357907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368351219728463-0.368334801403724)×R²
    abs(2.05160343-2.05155549)×1.6418324739198e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6418324739198e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6418324739198e-05×40589641000000     		ar = 12657.7458820449m²