Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108332 / 42724
↖ ↑ ↗
← N 52.955257°
E117.542725°		 ← 183.96 m → N 52.955257°
E117.545471°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
N 52.953602°
E117.542725°		 ← 183.97 m →
33 849 m²		 N 52.953602°
E117.545471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826511383056641 y=0.325962066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826511383056641 × 217)
    floor (0.826511383056641 × 131072)
    floor (108332.5)     		tx = 108332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325962066650391 × 217)
    floor (0.325962066650391 × 131072)
    floor (42724.5)     		ty = 42724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108332 / 42724 ti = "17/108332/42724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108332/42724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108332 ÷ 217
    108332 ÷ 131072     		x = 0.826507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42724 ÷ 217
    42724 ÷ 131072     		y = 0.325958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826507568359375 × 2 - 1) × π
    0.65301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05150756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325958251953125 × 2 - 1) × π
    0.34808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09353655413272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05150756} λ = 2.05150756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09353655413272))-π/2
    2×atan(2.98481137571505)-π/2
    2×1.2475199586449-π/2
    2.4950399172898-1.57079632675     		φ = 0.92424359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05150756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92424359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.955257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108332 KachelY 42724 2.05150756 0.92424359 117.542725 52.955257
    Oben rechts KachelX + 1 108333 KachelY 42724 2.05155549 0.92424359 117.545471 52.955257
    Unten links KachelX 108332 KachelY + 1 42725 2.05150756 0.92421471 117.542725 52.953602
    Unten rechts KachelX + 1 108333 KachelY + 1 42725 2.05155549 0.92421471 117.545471 52.953602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92424359-0.92421471) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92424359-0.92421471) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05150756-2.05155549) × cos(0.92424359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602438504884344 × 6371000     		do = 183.961844801761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05150756-2.05155549) × cos(0.92421471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602461555647002 × 6371000     		du = 183.968883629439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92424359)-sin(0.92421471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602438504884344-0.602461555647002)×R²
    abs(2.05155549-2.05150756)×2.30507626585164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30507626585164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30507626585164e-05×40589641000000     		ar = 33848.6115291134m²