Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108332 / 101647
↖ ↑ ↗
← S 69.914271°
E117.542725°		 ← 104.87 m → S 69.914271°
E117.545471°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
S 69.915214°
E117.542725°		 ← 104.86 m →
11 004 m²		 S 69.915214°
E117.545471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826511383056641 y=0.775508880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826511383056641 × 217)
    floor (0.826511383056641 × 131072)
    floor (108332.5)     		tx = 108332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775508880615234 × 217)
    floor (0.775508880615234 × 131072)
    floor (101647.5)     		ty = 101647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108332 / 101647 ti = "17/108332/101647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108332/101647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108332 ÷ 217
    108332 ÷ 131072     		x = 0.826507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101647 ÷ 217
    101647 ÷ 131072     		y = 0.775505065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826507568359375 × 2 - 1) × π
    0.65301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05150756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775505065917969 × 2 - 1) × π
    -0.551010131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73104938217985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05150756} λ = 2.05150756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73104938217985))-π/2
    2×atan(0.177098468448214)-π/2
    2×0.1752810508959-π/2
    0.350562101791801-1.57079632675     		φ = -1.22023422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05150756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22023422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.914271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108332 KachelY 101647 2.05150756 -1.22023422 117.542725 -69.914271
    Oben rechts KachelX + 1 108333 KachelY 101647 2.05155549 -1.22023422 117.545471 -69.914271
    Unten links KachelX 108332 KachelY + 1 101648 2.05150756 -1.22025069 117.542725 -69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 108333 KachelY + 1 101648 2.05155549 -1.22025069 117.545471 -69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22023422--1.22025069) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22023422--1.22025069) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05150756-2.05155549) × cos(-1.22023422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343425781040789 × 6371000     		do = 104.869193653015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05150756-2.05155549) × cos(-1.22025069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 104.864470209861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22023422)-sin(-1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343425781040789-0.343410312702587)×R²
    abs(2.05155549-2.05150756)×1.54683382016518e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54683382016518e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54683382016518e-05×40589641000000     		ar = 11003.7154754654m²