Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108332 / 101643
↖ ↑ ↗
← S 69.910498°
E117.542725°		 ← 104.89 m → S 69.910498°
E117.545471°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.911441°
E117.542725°		 ← 104.88 m →
10 999 m²		 S 69.911441°
E117.545471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826511383056641 y=0.775478363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826511383056641 × 217)
    floor (0.826511383056641 × 131072)
    floor (108332.5)     		tx = 108332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775478363037109 × 217)
    floor (0.775478363037109 × 131072)
    floor (101643.5)     		ty = 101643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108332 / 101643 ti = "17/108332/101643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108332/101643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108332 ÷ 217
    108332 ÷ 131072     		x = 0.826507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101643 ÷ 217
    101643 ÷ 131072     		y = 0.775474548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826507568359375 × 2 - 1) × π
    0.65301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05150756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775474548339844 × 2 - 1) × π
    -0.550949096679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73085763458137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05150756} λ = 2.05150756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73085763458137))-π/2
    2×atan(0.177132429910143)-π/2
    2×0.175313979394695-π/2
    0.350627958789389-1.57079632675     		φ = -1.22016837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05150756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22016837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.910498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108332 KachelY 101643 2.05150756 -1.22016837 117.542725 -69.910498
    Oben rechts KachelX + 1 108333 KachelY 101643 2.05155549 -1.22016837 117.545471 -69.910498
    Unten links KachelX 108332 KachelY + 1 101644 2.05150756 -1.22018483 117.542725 -69.911441
    Unten rechts KachelX + 1 108333 KachelY + 1 101644 2.05155549 -1.22018483 117.545471 -69.911441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22016837--1.22018483) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22016837--1.22018483) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05150756-2.05155549) × cos(-1.22016837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343487625287257 × 6371000     		do = 104.88807853766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05150756-2.05155549) × cos(-1.22018483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343472166713172 × 6371000     		du = 104.883358076097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22016837)-sin(-1.22018483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343487625287257-0.343472166713172)×R²
    abs(2.05155549-2.05150756)×1.54585740857471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54585740857471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54585740857471e-05×40589641000000     		ar = 10999.0149608777m²