Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108331 / 101590
↖ ↑ ↗
← S 69.860437°
E117.539978°		 ← 105.16 m → S 69.860437°
E117.542725°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
S 69.861383°
E117.539978°		 ← 105.16 m →
11 061 m²		 S 69.861383°
E117.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826503753662109 y=0.775074005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826503753662109 × 217)
    floor (0.826503753662109 × 131072)
    floor (108331.5)     		tx = 108331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775074005126953 × 217)
    floor (0.775074005126953 × 131072)
    floor (101590.5)     		ty = 101590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108331 / 101590 ti = "17/108331/101590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108331/101590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108331 ÷ 217
    108331 ÷ 131072     		x = 0.826499938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101590 ÷ 217
    101590 ÷ 131072     		y = 0.775070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826499938964844 × 2 - 1) × π
    0.652999877929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05145962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.550140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7283169789015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05145962} λ = 2.05145962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7283169789015))-π/2
    2×atan(0.177583034597577)-π/2
    2×0.175750842221148-π/2
    0.351501684442297-1.57079632675     		φ = -1.21929464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05145962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.539978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21929464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.860437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108331 KachelY 101590 2.05145962 -1.21929464 117.539978 -69.860437
    Oben rechts KachelX + 1 108332 KachelY 101590 2.05150756 -1.21929464 117.542725 -69.860437
    Unten links KachelX 108331 KachelY + 1 101591 2.05145962 -1.21931115 117.539978 -69.861383
    Unten rechts KachelX + 1 108332 KachelY + 1 101591 2.05150756 -1.21931115 117.542725 -69.861383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21929464--1.21931115) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21929464--1.21931115) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05145962-2.05150756) × cos(-1.21929464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344308063895593 × 6371000     		do = 105.16054520321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05145962-2.05150756) × cos(-1.21931115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344292563324076 × 6371000     		du = 105.155810929684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21929464)-sin(-1.21931115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344308063895593-0.344292563324076)×R²
    abs(2.05150756-2.05145962)×1.5500571516891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5500571516891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5500571516891e-05×40589641000000     		ar = 11061.0850433924m²