Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108330 / 42746
↖ ↑ ↗
← N 52.918839°
E117.537231°		 ← 184.16 m → N 52.918839°
E117.539978°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
N 52.917183°
E117.537231°		 ← 184.16 m →
33 908 m²		 N 52.917183°
E117.539978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826496124267578 y=0.326129913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826496124267578 × 217)
    floor (0.826496124267578 × 131072)
    floor (108330.5)     		tx = 108330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326129913330078 × 217)
    floor (0.326129913330078 × 131072)
    floor (42746.5)     		ty = 42746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108330 / 42746 ti = "17/108330/42746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108330/42746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108330 ÷ 217
    108330 ÷ 131072     		x = 0.826492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42746 ÷ 217
    42746 ÷ 131072     		y = 0.326126098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826492309570312 × 2 - 1) × π
    0.652984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05141168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326126098632812 × 2 - 1) × π
    0.347747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09248194234108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05141168} λ = 2.05141168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09248194234108))-π/2
    2×atan(2.98166521772165)-π/2
    2×1.24720215555367-π/2
    2.49440431110734-1.57079632675     		φ = 0.92360798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05141168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.537231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92360798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.918839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108330 KachelY 42746 2.05141168 0.92360798 117.537231 52.918839
    Oben rechts KachelX + 1 108331 KachelY 42746 2.05145962 0.92360798 117.539978 52.918839
    Unten links KachelX 108330 KachelY + 1 42747 2.05141168 0.92357908 117.537231 52.917183
    Unten rechts KachelX + 1 108331 KachelY + 1 42747 2.05145962 0.92357908 117.539978 52.917183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92360798-0.92357908) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92360798-0.92357908) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05141168-2.05145962) × cos(0.92360798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602945705004602 × 6371000     		do = 184.155138130731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05141168-2.05145962) × cos(0.92357908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602968760659077 × 6371000     		du = 184.162179921061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92360798)-sin(0.92357908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602945705004602-0.602968760659077)×R²
    abs(2.05145962-2.05141168)×2.30556544751348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30556544751348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30556544751348e-05×40589641000000     		ar = 33907.6422036581m²