Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108330 / 101577
↖ ↑ ↗
← S 69.848139°
E117.537231°		 ← 105.22 m → S 69.848139°
E117.539978°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.849086°
E117.537231°		 ← 105.22 m →
11 074 m²		 S 69.849086°
E117.539978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826496124267578 y=0.774974822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826496124267578 × 217)
    floor (0.826496124267578 × 131072)
    floor (108330.5)     		tx = 108330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774974822998047 × 217)
    floor (0.774974822998047 × 131072)
    floor (101577.5)     		ty = 101577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108330 / 101577 ti = "17/108330/101577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108330/101577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108330 ÷ 217
    108330 ÷ 131072     		x = 0.826492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101577 ÷ 217
    101577 ÷ 131072     		y = 0.774971008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826492309570312 × 2 - 1) × π
    0.652984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05141168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774971008300781 × 2 - 1) × π
    -0.549942016601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.72769379920644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05141168} λ = 2.05141168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72769379920644))-π/2
    2×atan(0.177693735228535)-π/2
    2×0.175858156507239-π/2
    0.351716313014478-1.57079632675     		φ = -1.21908001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05141168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.537231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21908001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.848139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108330 KachelY 101577 2.05141168 -1.21908001 117.537231 -69.848139
    Oben rechts KachelX + 1 108331 KachelY 101577 2.05145962 -1.21908001 117.539978 -69.848139
    Unten links KachelX 108330 KachelY + 1 101578 2.05141168 -1.21909653 117.537231 -69.849086
    Unten rechts KachelX + 1 108331 KachelY + 1 101578 2.05145962 -1.21909653 117.539978 -69.849086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21908001--1.21909653) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21908001--1.21909653) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05141168-2.05145962) × cos(-1.21908001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344509562783285 × 6371000     		do = 105.222088150092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05141168-2.05145962) × cos(-1.21909653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344494054044283 × 6371000     		du = 105.217351382006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21908001)-sin(-1.21909653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344509562783285-0.344494054044283)×R²
    abs(2.05145962-2.05141168)×1.55087390024122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55087390024122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55087390024122e-05×40589641000000     		ar = 11074.2618683676m²