Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108328 / 101575
↖ ↑ ↗
← S 69.846247°
E117.531738°		 ← 105.23 m → S 69.846247°
E117.534485°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.847194°
E117.531738°		 ← 105.23 m →
11 075 m²		 S 69.847194°
E117.534485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826480865478516 y=0.774959564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826480865478516 × 217)
    floor (0.826480865478516 × 131072)
    floor (108328.5)     		tx = 108328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774959564208984 × 217)
    floor (0.774959564208984 × 131072)
    floor (101575.5)     		ty = 101575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108328 / 101575 ti = "17/108328/101575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108328/101575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108328 ÷ 217
    108328 ÷ 131072     		x = 0.82647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101575 ÷ 217
    101575 ÷ 131072     		y = 0.774955749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82647705078125 × 2 - 1) × π
    0.6529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05131581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774955749511719 × 2 - 1) × π
    -0.549911499023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.7275979254072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05131581} λ = 2.05131581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7275979254072))-π/2
    2×atan(0.17771077221872)-π/2
    2×0.175874671970618-π/2
    0.351749343941237-1.57079632675     		φ = -1.21904698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05131581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21904698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.846247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108328 KachelY 101575 2.05131581 -1.21904698 117.531738 -69.846247
    Oben rechts KachelX + 1 108329 KachelY 101575 2.05136375 -1.21904698 117.534485 -69.846247
    Unten links KachelX 108328 KachelY + 1 101576 2.05131581 -1.21906350 117.531738 -69.847194
    Unten rechts KachelX + 1 108329 KachelY + 1 101576 2.05136375 -1.21906350 117.534485 -69.847194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21904698--1.21906350) × R
    1.65200000001864e-05 × 6371000     		dl = 105.248920001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21904698--1.21906350) × R
    1.65200000001864e-05 × 6371000     		dr = 105.248920001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05131581-2.05136375) × cos(-1.21904698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344540570591511 × 6371000     		do = 105.231558732866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05131581-2.05136375) × cos(-1.21906350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344525062040496 × 6371000     		du = 105.226822022196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21904698)-sin(-1.21906350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344540570591511-0.344525062040496)×R²
    abs(2.05136375-2.05131581)×1.55085510147868e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55085510147868e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55085510147868e-05×40589641000000     		ar = 11075.2586400573m²