Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108326 / 42738
↖ ↑ ↗
← N 52.932086°
E117.526245°		 ← 184.10 m → N 52.932086°
E117.528992°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
N 52.930430°
E117.526245°		 ← 184.11 m →
33 897 m²		 N 52.930430°
E117.528992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826465606689453 y=0.326068878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826465606689453 × 217)
    floor (0.826465606689453 × 131072)
    floor (108326.5)     		tx = 108326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326068878173828 × 217)
    floor (0.326068878173828 × 131072)
    floor (42738.5)     		ty = 42738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108326 / 42738 ti = "17/108326/42738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108326/42738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108326 ÷ 217
    108326 ÷ 131072     		x = 0.826461791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42738 ÷ 217
    42738 ÷ 131072     		y = 0.326065063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826461791992188 × 2 - 1) × π
    0.652923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05121993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326065063476562 × 2 - 1) × π
    0.347869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09286543753804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05121993} λ = 2.05121993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09286543753804))-π/2
    2×atan(2.98280889129424)-π/2
    2×1.24731775125902-π/2
    2.49463550251805-1.57079632675     		φ = 0.92383918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05121993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.526245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92383918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.932086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108326 KachelY 42738 2.05121993 0.92383918 117.526245 52.932086
    Oben rechts KachelX + 1 108327 KachelY 42738 2.05126787 0.92383918 117.528992 52.932086
    Unten links KachelX 108326 KachelY + 1 42739 2.05121993 0.92381028 117.526245 52.930430
    Unten rechts KachelX + 1 108327 KachelY + 1 42739 2.05126787 0.92381028 117.528992 52.930430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92383918-0.92381028) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92383918-0.92381028) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05121993-2.05126787) × cos(0.92383918) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.602761241641312 × 6371000     		do = 184.098798273201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05121993-2.05126787) × cos(0.92381028) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.602784301323938 × 6371000     		du = 184.105841293832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92383918)-sin(0.92381028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602761241641312-0.602784301323938)×R²
    abs(2.05126787-2.05121993)×2.30596826262808e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.30596826262808e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.30596826262808e-05×40589641000000     		ar = 33897.2689154525m²