Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108326 / 101570
↖ ↑ ↗
← S 69.841515°
E117.526245°		 ← 105.26 m → S 69.841515°
E117.528992°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.842461°
E117.526245°		 ← 105.25 m →
11 078 m²		 S 69.842461°
E117.528992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826465606689453 y=0.774921417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826465606689453 × 217)
    floor (0.826465606689453 × 131072)
    floor (108326.5)     		tx = 108326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774921417236328 × 217)
    floor (0.774921417236328 × 131072)
    floor (101570.5)     		ty = 101570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108326 / 101570 ti = "17/108326/101570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108326/101570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108326 ÷ 217
    108326 ÷ 131072     		x = 0.826461791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101570 ÷ 217
    101570 ÷ 131072     		y = 0.774917602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826461791992188 × 2 - 1) × π
    0.652923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05121993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774917602539062 × 2 - 1) × π
    -0.549835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7273582409091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05121993} λ = 2.05121993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7273582409091))-π/2
    2×atan(0.177753371840997)-π/2
    2×0.175915967132836-π/2
    0.351831934265671-1.57079632675     		φ = -1.21896439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05121993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.526245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21896439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.841515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108326 KachelY 101570 2.05121993 -1.21896439 117.526245 -69.841515
    Oben rechts KachelX + 1 108327 KachelY 101570 2.05126787 -1.21896439 117.528992 -69.841515
    Unten links KachelX 108326 KachelY + 1 101571 2.05121993 -1.21898091 117.526245 -69.842461
    Unten rechts KachelX + 1 108327 KachelY + 1 101571 2.05126787 -1.21898091 117.528992 -69.842461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21896439--1.21898091) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21896439--1.21898091) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05121993-2.05126787) × cos(-1.21896439) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.344618102548639 × 6371000     		do = 105.25523898922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05121993-2.05126787) × cos(-1.21898091) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.344602594467754 × 6371000     		du = 105.25050242214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21896439)-sin(-1.21898091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344618102548639-0.344602594467754)×R²
    abs(2.05126787-2.05121993)×1.55080808856844e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.55080808856844e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.55080808856844e-05×40589641000000     		ar = 11077.7509689404m²