Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108322 / 42743
↖ ↑ ↗
← N 52.923807°
E117.515259°		 ← 184.10 m → N 52.923807°
E117.518005°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
N 52.922151°
E117.515259°		 ← 184.10 m →
33 897 m²		 N 52.922151°
E117.518005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826435089111328 y=0.326107025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826435089111328 × 217)
    floor (0.826435089111328 × 131072)
    floor (108322.5)     		tx = 108322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326107025146484 × 217)
    floor (0.326107025146484 × 131072)
    floor (42743.5)     		ty = 42743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108322 / 42743 ti = "17/108322/42743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108322/42743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108322 ÷ 217
    108322 ÷ 131072     		x = 0.826431274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42743 ÷ 217
    42743 ÷ 131072     		y = 0.326103210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826431274414062 × 2 - 1) × π
    0.652862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05102819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326103210449219 × 2 - 1) × π
    0.347793579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09262575303994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05102819} λ = 2.05102819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09262575303994))-π/2
    2×atan(2.98209404391454)-π/2
    2×1.24724550808802-π/2
    2.49449101617603-1.57079632675     		φ = 0.92369469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05102819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.515259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92369469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.923807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108322 KachelY 42743 2.05102819 0.92369469 117.515259 52.923807
    Oben rechts KachelX + 1 108323 KachelY 42743 2.05107612 0.92369469 117.518005 52.923807
    Unten links KachelX 108322 KachelY + 1 42744 2.05102819 0.92366579 117.515259 52.922151
    Unten rechts KachelX + 1 108323 KachelY + 1 42744 2.05107612 0.92366579 117.518005 52.922151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92369469-0.92366579) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92369469-0.92366579) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05102819-2.05107612) × cos(0.92369469) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602876527041391 × 6371000     		do = 184.095600136822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05102819-2.05107612) × cos(0.92366579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602899584206741 × 6371000     		du = 184.102640919639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92369469)-sin(0.92366579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602876527041391-0.602899584206741)×R²
    abs(2.05107612-2.05102819)×2.30571653504485e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30571653504485e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30571653504485e-05×40589641000000     		ar = 33896.6798622677m²