Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108320 / 99872
↖ ↑ ↗
← S 68.171555°
E117.509765°		 ← 113.57 m → S 68.171555°
E117.512512°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.172577°
E117.509765°		 ← 113.56 m →
12 900 m²		 S 68.172577°
E117.512512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826419830322266 y=0.761966705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826419830322266 × 217)
    floor (0.826419830322266 × 131072)
    floor (108320.5)     		tx = 108320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761966705322266 × 217)
    floor (0.761966705322266 × 131072)
    floor (99872.5)     		ty = 99872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108320 / 99872 ti = "17/108320/99872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108320/99872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108320 ÷ 217
    108320 ÷ 131072     		x = 0.826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99872 ÷ 217
    99872 ÷ 131072     		y = 0.761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826416015625 × 2 - 1) × π
    0.65283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05093231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.52392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64596138535425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05093231} λ = 2.05093231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64596138535425))-π/2
    2×atan(0.192827092511198)-π/2
    2×0.190489116294274-π/2
    0.380978232588548-1.57079632675     		φ = -1.18981809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05093231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.509765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18981809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.171555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108320 KachelY 99872 2.05093231 -1.18981809 117.509765 -68.171555
    Oben rechts KachelX + 1 108321 KachelY 99872 2.05098025 -1.18981809 117.512512 -68.171555
    Unten links KachelX 108320 KachelY + 1 99873 2.05093231 -1.18983592 117.509765 -68.172577
    Unten rechts KachelX + 1 108321 KachelY + 1 99873 2.05098025 -1.18983592 117.512512 -68.172577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18981809--1.18983592) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18981809--1.18983592) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05093231-2.05098025) × cos(-1.18981809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371828745709089 × 6371000     		do = 113.566069811396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05093231-2.05098025) × cos(-1.18983592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371812194037036 × 6371000     		du = 113.561014504711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18981809)-sin(-1.18983592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371828745709089-0.371812194037036)×R²
    abs(2.05098025-2.05093231)×1.65516720529446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65516720529446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65516720529446e-05×40589641000000     		ar = 12900.2426223348m²