Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108318 / 100140
↖ ↑ ↗
← S 68.443626°
E117.504272°		 ← 112.22 m → S 68.443626°
E117.507019°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.444635°
E117.504272°		 ← 112.21 m →
12 590 m²		 S 68.444635°
E117.507019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826404571533203 y=0.764011383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826404571533203 × 217)
    floor (0.826404571533203 × 131072)
    floor (108318.5)     		tx = 108318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764011383056641 × 217)
    floor (0.764011383056641 × 131072)
    floor (100140.5)     		ty = 100140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108318 / 100140 ti = "17/108318/100140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108318/100140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108318 ÷ 217
    108318 ÷ 131072     		x = 0.826400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100140 ÷ 217
    100140 ÷ 131072     		y = 0.764007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826400756835938 × 2 - 1) × π
    0.652801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05083644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.52801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65880847445242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05083644} λ = 2.05083644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65880847445242))-π/2
    2×atan(0.19036567058083)-π/2
    2×0.188114852648759-π/2
    0.376229705297519-1.57079632675     		φ = -1.19456662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05083644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19456662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.443626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108318 KachelY 100140 2.05083644 -1.19456662 117.504272 -68.443626
    Oben rechts KachelX + 1 108319 KachelY 100140 2.05088438 -1.19456662 117.507019 -68.443626
    Unten links KachelX 108318 KachelY + 1 100141 2.05083644 -1.19458423 117.504272 -68.444635
    Unten rechts KachelX + 1 108319 KachelY + 1 100141 2.05088438 -1.19458423 117.507019 -68.444635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19456662--1.19458423) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19456662--1.19458423) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05083644-2.05088438) × cos(-1.19456662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367416503408289 × 6371000     		do = 112.218457441615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05083644-2.05088438) × cos(-1.19458423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367400125056167 × 6371000     		du = 112.213455071299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19456662)-sin(-1.19458423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367416503408289-0.367400125056167)×R²
    abs(2.05088438-2.05083644)×1.63783521220373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63783521220373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63783521220373e-05×40589641000000     		ar = 12589.8795674922m²