Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108317 / 100038
↖ ↑ ↗
← S 68.340459°
E117.501526°		 ← 112.73 m → S 68.340459°
E117.504272°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.341473°
E117.501526°		 ← 112.72 m →
12 712 m²		 S 68.341473°
E117.504272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826396942138672 y=0.763233184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826396942138672 × 217)
    floor (0.826396942138672 × 131072)
    floor (108317.5)     		tx = 108317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763233184814453 × 217)
    floor (0.763233184814453 × 131072)
    floor (100038.5)     		ty = 100038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108317 / 100038 ti = "17/108317/100038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108317/100038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108317 ÷ 217
    108317 ÷ 131072     		x = 0.826393127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100038 ÷ 217
    100038 ÷ 131072     		y = 0.763229370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826393127441406 × 2 - 1) × π
    0.652786254882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05078850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763229370117188 × 2 - 1) × π
    -0.526458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65391891069118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05078850} λ = 2.05078850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65391891069118))-π/2
    2×atan(0.191298754993952)-π/2
    2×0.189015150904103-π/2
    0.378030301808207-1.57079632675     		φ = -1.19276602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05078850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.501526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19276602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.340459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108317 KachelY 100038 2.05078850 -1.19276602 117.501526 -68.340459
    Oben rechts KachelX + 1 108318 KachelY 100038 2.05083644 -1.19276602 117.504272 -68.340459
    Unten links KachelX 108317 KachelY + 1 100039 2.05078850 -1.19278372 117.501526 -68.341473
    Unten rechts KachelX + 1 108318 KachelY + 1 100039 2.05083644 -1.19278372 117.504272 -68.341473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19276602--1.19278372) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19276602--1.19278372) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05078850-2.05083644) × cos(-1.19276602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369090566645015 × 6371000     		do = 112.729759444499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05078850-2.05083644) × cos(-1.19278372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369074116323433 × 6371000     		du = 112.724735092857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19276602)-sin(-1.19278372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369090566645015-0.369074116323433)×R²
    abs(2.05083644-2.05078850)×1.6450321582262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6450321582262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6450321582262e-05×40589641000000     		ar = 12711.8796746939m²