Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108316 / 101617
↖ ↑ ↗
← S 69.885955°
E117.498780°		 ← 105.01 m → S 69.885955°
E117.501526°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.886899°
E117.498780°		 ← 105.01 m →
11 025 m²		 S 69.886899°
E117.501526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826389312744141 y=0.775279998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826389312744141 × 217)
    floor (0.826389312744141 × 131072)
    floor (108316.5)     		tx = 108316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775279998779297 × 217)
    floor (0.775279998779297 × 131072)
    floor (101617.5)     		ty = 101617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108316 / 101617 ti = "17/108316/101617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108316/101617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108316 ÷ 217
    108316 ÷ 131072     		x = 0.826385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101617 ÷ 217
    101617 ÷ 131072     		y = 0.775276184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826385498046875 × 2 - 1) × π
    0.65277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05074057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775276184082031 × 2 - 1) × π
    -0.550552368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.72961127519125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05074057} λ = 2.05074057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72961127519125))-π/2
    2×atan(0.17735333821443)-π/2
    2×0.175528159230129-π/2
    0.351056318460259-1.57079632675     		φ = -1.21974001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05074057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.498780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21974001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.885955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108316 KachelY 101617 2.05074057 -1.21974001 117.498780 -69.885955
    Oben rechts KachelX + 1 108317 KachelY 101617 2.05078850 -1.21974001 117.501526 -69.885955
    Unten links KachelX 108316 KachelY + 1 101618 2.05074057 -1.21975649 117.498780 -69.886899
    Unten rechts KachelX + 1 108317 KachelY + 1 101618 2.05078850 -1.21975649 117.501526 -69.886899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21974001--1.21975649) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21974001--1.21975649) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05074057-2.05078850) × cos(-1.21974001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343889891140613 × 6371000     		do = 105.010915255241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05074057-2.05078850) × cos(-1.21975649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343874416209443 × 6371000     		du = 105.006189798845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21974001)-sin(-1.21975649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343889891140613-0.343874416209443)×R²
    abs(2.05078850-2.05074057)×1.54749311703228e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54749311703228e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54749311703228e-05×40589641000000     		ar = 11025.27636484m²