Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108315 / 100070
↖ ↑ ↗
← S 68.372876°
E117.496033°		 ← 112.57 m → S 68.372876°
E117.498780°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.373888°
E117.496033°		 ← 112.56 m →
12 672 m²		 S 68.373888°
E117.498780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826381683349609 y=0.763477325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826381683349609 × 217)
    floor (0.826381683349609 × 131072)
    floor (108315.5)     		tx = 108315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763477325439453 × 217)
    floor (0.763477325439453 × 131072)
    floor (100070.5)     		ty = 100070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108315 / 100070 ti = "17/108315/100070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108315/100070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108315 ÷ 217
    108315 ÷ 131072     		x = 0.826377868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100070 ÷ 217
    100070 ÷ 131072     		y = 0.763473510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826377868652344 × 2 - 1) × π
    0.652755737304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05069263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763473510742188 × 2 - 1) × π
    -0.526947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65545289147902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05069263} λ = 2.05069263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65545289147902))-π/2
    2×atan(0.191005531336281)-π/2
    2×0.188732263703712-π/2
    0.377464527407424-1.57079632675     		φ = -1.19333180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05069263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.496033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19333180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.372876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108315 KachelY 100070 2.05069263 -1.19333180 117.496033 -68.372876
    Oben rechts KachelX + 1 108316 KachelY 100070 2.05074057 -1.19333180 117.498780 -68.372876
    Unten links KachelX 108315 KachelY + 1 100071 2.05069263 -1.19334947 117.496033 -68.373888
    Unten rechts KachelX + 1 108316 KachelY + 1 100071 2.05074057 -1.19334947 117.498780 -68.373888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19333180--1.19334947) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19333180--1.19334947) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05069263-2.05074057) × cos(-1.19333180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368564675382215 × 6371000     		do = 112.569138716399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05069263-2.05074057) × cos(-1.19334947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368548249255421 × 6371000     		du = 112.564121754468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19333180)-sin(-1.19334947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368564675382215-0.368548249255421)×R²
    abs(2.05074057-2.05069263)×1.64261267940335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64261267940335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64261267940335e-05×40589641000000     		ar = 12672.2525620562m²