Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108314 / 99874
↖ ↑ ↗
← S 68.173598°
E117.493286°		 ← 113.56 m → S 68.173598°
E117.496033°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.174619°
E117.493286°		 ← 113.55 m →
12 892 m²		 S 68.174619°
E117.496033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826374053955078 y=0.761981964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826374053955078 × 217)
    floor (0.826374053955078 × 131072)
    floor (108314.5)     		tx = 108314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761981964111328 × 217)
    floor (0.761981964111328 × 131072)
    floor (99874.5)     		ty = 99874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108314 / 99874 ti = "17/108314/99874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108314/99874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108314 ÷ 217
    108314 ÷ 131072     		x = 0.826370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99874 ÷ 217
    99874 ÷ 131072     		y = 0.761978149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826370239257812 × 2 - 1) × π
    0.652740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05064469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761978149414062 × 2 - 1) × π
    -0.523956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64605725915349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05064469} λ = 2.05064469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64605725915349))-π/2
    2×atan(0.192808606331427)-π/2
    2×0.190471292770363-π/2
    0.380942585540725-1.57079632675     		φ = -1.18985374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05064469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18985374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.173598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108314 KachelY 99874 2.05064469 -1.18985374 117.493286 -68.173598
    Oben rechts KachelX + 1 108315 KachelY 99874 2.05069263 -1.18985374 117.496033 -68.173598
    Unten links KachelX 108314 KachelY + 1 99875 2.05064469 -1.18987156 117.493286 -68.174619
    Unten rechts KachelX + 1 108315 KachelY + 1 99875 2.05069263 -1.18987156 117.496033 -68.174619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18985374--1.18987156) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18985374--1.18987156) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05064469-2.05069263) × cos(-1.18985374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371795651529927 × 6371000     		do = 113.555961997236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05064469-2.05069263) × cos(-1.18987156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371779108904753 × 6371000     		du = 113.5509094537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18985374)-sin(-1.18987156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371795651529927-0.371779108904753)×R²
    abs(2.05069263-2.05064469)×1.65426251739764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65426251739764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65426251739764e-05×40589641000000     		ar = 12891.8600933718m²