Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108309 / 100044
↖ ↑ ↗
← S 68.346541°
E117.479553°		 ← 112.68 m → S 68.346541°
E117.482300°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.347554°
E117.479553°		 ← 112.67 m →
12 699 m²		 S 68.347554°
E117.482300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826335906982422 y=0.763278961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826335906982422 × 217)
    floor (0.826335906982422 × 131072)
    floor (108309.5)     		tx = 108309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763278961181641 × 217)
    floor (0.763278961181641 × 131072)
    floor (100044.5)     		ty = 100044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108309 / 100044 ti = "17/108309/100044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108309/100044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108309 ÷ 217
    108309 ÷ 131072     		x = 0.826332092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100044 ÷ 217
    100044 ÷ 131072     		y = 0.763275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826332092285156 × 2 - 1) × π
    0.652664184570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.05040501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.52655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6542065320889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05040501} λ = 2.05040501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6542065320889))-π/2
    2×atan(0.191243741290597)-π/2
    2×0.188962078826294-π/2
    0.377924157652587-1.57079632675     		φ = -1.19287217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05040501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.479553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19287217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.346541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108309 KachelY 100044 2.05040501 -1.19287217 117.479553 -68.346541
    Oben rechts KachelX + 1 108310 KachelY 100044 2.05045294 -1.19287217 117.482300 -68.346541
    Unten links KachelX 108309 KachelY + 1 100045 2.05040501 -1.19288986 117.479553 -68.347554
    Unten rechts KachelX + 1 108310 KachelY + 1 100045 2.05045294 -1.19288986 117.482300 -68.347554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19287217--1.19288986) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19287217--1.19288986) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05040501-2.05045294) × cos(-1.19287217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368991909452847 × 6371000     		do = 112.676118524166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05040501-2.05045294) × cos(-1.19288986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368975467732296 × 6371000     		du = 112.671097847002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19287217)-sin(-1.19288986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368991909452847-0.368975467732296)×R²
    abs(2.05045294-2.05040501)×1.64417205504863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64417205504863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64417205504863e-05×40589641000000     		ar = 12698.6525370948m²