Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108308 / 101520
↖ ↑ ↗
← S 69.794136°
E117.476807°		 ← 105.49 m → S 69.794136°
E117.479553°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.795084°
E117.476807°		 ← 105.49 m →
11 123 m²		 S 69.795084°
E117.479553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826328277587891 y=0.774539947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826328277587891 × 217)
    floor (0.826328277587891 × 131072)
    floor (108308.5)     		tx = 108308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774539947509766 × 217)
    floor (0.774539947509766 × 131072)
    floor (101520.5)     		ty = 101520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108308 / 101520 ti = "17/108308/101520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108308/101520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108308 ÷ 217
    108308 ÷ 131072     		x = 0.826324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101520 ÷ 217
    101520 ÷ 131072     		y = 0.7745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826324462890625 × 2 - 1) × π
    0.65264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05035707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05035707} λ = 2.05035707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7249613959281))-π/2
    2×atan(0.178179930110965)-π/2
    2×0.17632943014355-π/2
    0.3526588602871-1.57079632675     		φ = -1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05035707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.476807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108308 KachelY 101520 2.05035707 -1.21813747 117.476807 -69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 108309 KachelY 101520 2.05040501 -1.21813747 117.479553 -69.794136
    Unten links KachelX 108308 KachelY + 1 101521 2.05035707 -1.21815402 117.476807 -69.795084
    Unten rechts KachelX + 1 108309 KachelY + 1 101521 2.05040501 -1.21815402 117.479553 -69.795084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21813747--1.21815402) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21813747--1.21815402) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05035707-2.05040501) × cos(-1.21813747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 105.492294389504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05035707-2.05040501) × cos(-1.21815402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345378718450567 × 6371000     		du = 105.487550662947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21813747)-sin(-1.21815402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345378718450567)×R²
    abs(2.05040501-2.05035707)×1.55315218607899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55315218607899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55315218607899e-05×40589641000000     		ar = 11122.8627059311m²