Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108306 / 101534
↖ ↑ ↗
← S 69.807412°
E117.471314°		 ← 105.40 m → S 69.807412°
E117.474060°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.808361°
E117.471314°		 ← 105.40 m →
11 114 m²		 S 69.808361°
E117.474060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826313018798828 y=0.774646759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826313018798828 × 217)
    floor (0.826313018798828 × 131072)
    floor (108306.5)     		tx = 108306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774646759033203 × 217)
    floor (0.774646759033203 × 131072)
    floor (101534.5)     		ty = 101534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108306 / 101534 ti = "17/108306/101534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108306/101534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108306 ÷ 217
    108306 ÷ 131072     		x = 0.826309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101534 ÷ 217
    101534 ÷ 131072     		y = 0.774642944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826309204101562 × 2 - 1) × π
    0.652618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05026120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774642944335938 × 2 - 1) × π
    -0.549285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72563251252278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05026120} λ = 2.05026120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72563251252278))-π/2
    2×atan(0.178060390719949)-π/2
    2×0.176213566727117-π/2
    0.352427133454233-1.57079632675     		φ = -1.21836919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05026120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.471314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21836919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.807412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108306 KachelY 101534 2.05026120 -1.21836919 117.471314 -69.807412
    Oben rechts KachelX + 1 108307 KachelY 101534 2.05030913 -1.21836919 117.474060 -69.807412
    Unten links KachelX 108306 KachelY + 1 101535 2.05026120 -1.21838574 117.471314 -69.808361
    Unten rechts KachelX + 1 108307 KachelY + 1 101535 2.05030913 -1.21838574 117.474060 -69.808361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21836919--1.21838574) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21836919--1.21838574) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05026120-2.05030913) × cos(-1.21836919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345176781288563 × 6371000     		do = 105.403882643206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05026120-2.05030913) × cos(-1.21838574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345161248442573 × 6371000     		du = 105.399139501823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21836919)-sin(-1.21838574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345176781288563-0.345161248442573)×R²
    abs(2.05030913-2.05026120)×1.55328459892634e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55328459892634e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55328459892634e-05×40589641000000     		ar = 11113.54059784m²