Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108304 / 42609
↖ ↑ ↗
← N 53.145123°
E117.465820°		 ← 183.19 m → N 53.145123°
E117.468567°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.143475°
E117.465820°		 ← 183.20 m →
33 567 m²		 N 53.143475°
E117.468567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826297760009766 y=0.325084686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826297760009766 × 217)
    floor (0.826297760009766 × 131072)
    floor (108304.5)     		tx = 108304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325084686279297 × 217)
    floor (0.325084686279297 × 131072)
    floor (42609.5)     		ty = 42609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108304 / 42609 ti = "17/108304/42609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108304/42609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108304 ÷ 217
    108304 ÷ 131072     		x = 0.8262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42609 ÷ 217
    42609 ÷ 131072     		y = 0.325080871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8262939453125 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05016532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325080871582031 × 2 - 1) × π
    0.349838256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09904929758903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05016532} λ = 2.05016532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09904929758903))-π/2
    2×atan(3.00131131326968)-π/2
    2×1.24917685215848-π/2
    2.49835370431697-1.57079632675     		φ = 0.92755738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05016532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.465820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92755738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.145123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108304 KachelY 42609 2.05016532 0.92755738 117.465820 53.145123
    Oben rechts KachelX + 1 108305 KachelY 42609 2.05021326 0.92755738 117.468567 53.145123
    Unten links KachelX 108304 KachelY + 1 42610 2.05016532 0.92752862 117.465820 53.143475
    Unten rechts KachelX + 1 108305 KachelY + 1 42610 2.05021326 0.92752862 117.468567 53.143475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92755738-0.92752862) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92755738-0.92752862) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05016532-2.05021326) × cos(0.92755738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599790249785018 × 6371000     		do = 183.191380885254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05016532-2.05021326) × cos(0.92752862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599813262060037 × 6371000     		du = 183.198409426381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92755738)-sin(0.92752862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599790249785018-0.599813262060037)×R²
    abs(2.05021326-2.05016532)×2.30122750189965e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30122750189965e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30122750189965e-05×40589641000000     		ar = 33566.7933137111m²