Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108301 / 101627
↖ ↑ ↗
← S 69.895398°
E117.457580°		 ← 104.99 m → S 69.895398°
E117.460327°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.896342°
E117.457580°		 ← 104.98 m →
11 023 m²		 S 69.896342°
E117.460327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826274871826172 y=0.775356292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826274871826172 × 217)
    floor (0.826274871826172 × 131072)
    floor (108301.5)     		tx = 108301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775356292724609 × 217)
    floor (0.775356292724609 × 131072)
    floor (101627.5)     		ty = 101627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108301 / 101627 ti = "17/108301/101627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108301/101627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108301 ÷ 217
    108301 ÷ 131072     		x = 0.826271057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101627 ÷ 217
    101627 ÷ 131072     		y = 0.775352478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826271057128906 × 2 - 1) × π
    0.652542114257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05002151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775352478027344 × 2 - 1) × π
    -0.550704956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73009064418745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05002151} λ = 2.05002151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73009064418745))-π/2
    2×atan(0.177268340896884)-π/2
    2×0.175445752702478-π/2
    0.350891505404956-1.57079632675     		φ = -1.21990482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05002151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.457580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21990482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.895398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108301 KachelY 101627 2.05002151 -1.21990482 117.457580 -69.895398
    Oben rechts KachelX + 1 108302 KachelY 101627 2.05006945 -1.21990482 117.460327 -69.895398
    Unten links KachelX 108301 KachelY + 1 101628 2.05002151 -1.21992130 117.457580 -69.896342
    Unten rechts KachelX + 1 108302 KachelY + 1 101628 2.05006945 -1.21992130 117.460327 -69.896342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21990482--1.21992130) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21990482--1.21992130) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05002151-2.05006945) × cos(-1.21990482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343735128236063 × 6371000     		do = 104.985555905426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05002151-2.05006945) × cos(-1.21992130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343719652371095 × 6371000     		du = 104.980829177916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21990482)-sin(-1.21992130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343735128236063-0.343719652371095)×R²
    abs(2.05006945-2.05002151)×1.54758649677511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54758649677511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54758649677511e-05×40589641000000     		ar = 11022.6137167134m²