Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108299 / 101620
↖ ↑ ↗
← S 69.888788°
E117.452087°		 ← 105.02 m → S 69.888788°
E117.454834°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.889732°
E117.452087°		 ← 105.01 m →
11 026 m²		 S 69.889732°
E117.454834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826259613037109 y=0.775302886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826259613037109 × 217)
    floor (0.826259613037109 × 131072)
    floor (108299.5)     		tx = 108299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775302886962891 × 217)
    floor (0.775302886962891 × 131072)
    floor (101620.5)     		ty = 101620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108299 / 101620 ti = "17/108299/101620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108299/101620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108299 ÷ 217
    108299 ÷ 131072     		x = 0.826255798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101620 ÷ 217
    101620 ÷ 131072     		y = 0.775299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826255798339844 × 2 - 1) × π
    0.652511596679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.04992564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.55059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72975508589011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04992564} λ = 2.04992564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72975508589011))-π/2
    2×atan(0.177327834740796)-π/2
    2×0.175503433376762-π/2
    0.351006866753525-1.57079632675     		φ = -1.21978946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04992564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.452087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21978946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.888788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108299 KachelY 101620 2.04992564 -1.21978946 117.452087 -69.888788
    Oben rechts KachelX + 1 108300 KachelY 101620 2.04997358 -1.21978946 117.454834 -69.888788
    Unten links KachelX 108299 KachelY + 1 101621 2.04992564 -1.21980594 117.452087 -69.889732
    Unten rechts KachelX + 1 108300 KachelY + 1 101621 2.04997358 -1.21980594 117.454834 -69.889732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21978946--1.21980594) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21978946--1.21980594) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04992564-2.04997358) × cos(-1.21978946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343843456676657 × 6371000     		do = 105.018642199557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04992564-2.04997358) × cos(-1.21980594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343827981465264 × 6371000     		du = 105.013915671666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21978946)-sin(-1.21980594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343843456676657-0.343827981465264)×R²
    abs(2.04997358-2.04992564)×1.54752113933898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54752113933898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54752113933898e-05×40589641000000     		ar = 11026.0875921397m²