Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108299 / 100055
↖ ↑ ↗
← S 68.357686°
E117.452087°		 ← 112.64 m → S 68.357686°
E117.454834°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.358699°
E117.452087°		 ← 112.64 m →
12 688 m²		 S 68.358699°
E117.454834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826259613037109 y=0.763362884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826259613037109 × 217)
    floor (0.826259613037109 × 131072)
    floor (108299.5)     		tx = 108299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763362884521484 × 217)
    floor (0.763362884521484 × 131072)
    floor (100055.5)     		ty = 100055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108299 / 100055 ti = "17/108299/100055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108299/100055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108299 ÷ 217
    108299 ÷ 131072     		x = 0.826255798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100055 ÷ 217
    100055 ÷ 131072     		y = 0.763359069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826255798339844 × 2 - 1) × π
    0.652511596679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.04992564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763359069824219 × 2 - 1) × π
    -0.526718139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65473383798472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04992564} λ = 2.04992564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65473383798472))-π/2
    2×atan(0.191142923921409)-π/2
    2×0.188864816857778-π/2
    0.377729633715556-1.57079632675     		φ = -1.19306669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04992564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.452087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19306669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.357686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108299 KachelY 100055 2.04992564 -1.19306669 117.452087 -68.357686
    Oben rechts KachelX + 1 108300 KachelY 100055 2.04997358 -1.19306669 117.454834 -68.357686
    Unten links KachelX 108299 KachelY + 1 100056 2.04992564 -1.19308437 117.452087 -68.358699
    Unten rechts KachelX + 1 108300 KachelY + 1 100056 2.04997358 -1.19308437 117.454834 -68.358699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19306669--1.19308437) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19306669--1.19308437) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04992564-2.04997358) × cos(-1.19306669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36881110924233 × 6371000     		do = 112.644405960486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04992564-2.04997358) × cos(-1.19308437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368794675547505 × 6371000     		du = 112.639386687083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19306669)-sin(-1.19308437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36881110924233-0.368794675547505)×R²
    abs(2.04997358-2.04992564)×1.64336948251798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64336948251798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64336948251798e-05×40589641000000     		ar = 12687.9021000791m²