Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108298 / 101631
↖ ↑ ↗
← S 69.899174°
E117.449341°		 ← 104.97 m → S 69.899174°
E117.452087°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
S 69.900118°
E117.449341°		 ← 104.96 m →
11 014 m²		 S 69.900118°
E117.452087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826251983642578 y=0.775386810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826251983642578 × 217)
    floor (0.826251983642578 × 131072)
    floor (108298.5)     		tx = 108298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775386810302734 × 217)
    floor (0.775386810302734 × 131072)
    floor (101631.5)     		ty = 101631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108298 / 101631 ti = "17/108298/101631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108298/101631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108298 ÷ 217
    108298 ÷ 131072     		x = 0.826248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101631 ÷ 217
    101631 ÷ 131072     		y = 0.775382995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826248168945312 × 2 - 1) × π
    0.652496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04987770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775382995605469 × 2 - 1) × π
    -0.550765991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73028239178593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04987770} λ = 2.04987770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73028239178593))-π/2
    2×atan(0.177234353376847)-π/2
    2×0.175412800476791-π/2
    0.350825600953582-1.57079632675     		φ = -1.21997073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04987770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.449341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21997073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.899174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108298 KachelY 101631 2.04987770 -1.21997073 117.449341 -69.899174
    Oben rechts KachelX + 1 108299 KachelY 101631 2.04992564 -1.21997073 117.452087 -69.899174
    Unten links KachelX 108298 KachelY + 1 101632 2.04987770 -1.21998720 117.449341 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 108299 KachelY + 1 101632 2.04992564 -1.21998720 117.452087 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21997073--1.21998720) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21997073--1.21998720) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04987770-2.04992564) × cos(-1.21997073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343673233606996 × 6371000     		do = 104.966651692541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04987770-2.04992564) × cos(-1.21998720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 104.961927719247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21997073)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343673233606996-0.343657766759656)×R²
    abs(2.04992564-2.04987770)×1.5466847340162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5466847340162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5466847340162e-05×40589641000000     		ar = 11013.9417559388m²