Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108297 / 101609
↖ ↑ ↗
← S 69.878397°
E117.446594°		 ← 105.07 m → S 69.878397°
E117.449341°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.879342°
E117.446594°		 ← 105.07 m →
11 045 m²		 S 69.879342°
E117.449341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826244354248047 y=0.775218963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826244354248047 × 217)
    floor (0.826244354248047 × 131072)
    floor (108297.5)     		tx = 108297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775218963623047 × 217)
    floor (0.775218963623047 × 131072)
    floor (101609.5)     		ty = 101609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108297 / 101609 ti = "17/108297/101609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108297/101609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108297 ÷ 217
    108297 ÷ 131072     		x = 0.826240539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101609 ÷ 217
    101609 ÷ 131072     		y = 0.775215148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826240539550781 × 2 - 1) × π
    0.652481079101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.04982976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775215148925781 × 2 - 1) × π
    -0.550430297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.72922777999429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04982976} λ = 2.04982976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72922777999429))-π/2
    2×atan(0.177421365411018)-π/2
    2×0.175594111165131-π/2
    0.351188222330262-1.57079632675     		φ = -1.21960810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04982976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.446594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21960810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.878397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108297 KachelY 101609 2.04982976 -1.21960810 117.446594 -69.878397
    Oben rechts KachelX + 1 108298 KachelY 101609 2.04987770 -1.21960810 117.449341 -69.878397
    Unten links KachelX 108297 KachelY + 1 101610 2.04982976 -1.21962460 117.446594 -69.879342
    Unten rechts KachelX + 1 108298 KachelY + 1 101610 2.04987770 -1.21962460 117.449341 -69.879342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21960810--1.21962460) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dl = 105.121499999133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21960810--1.21962460) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dr = 105.121499999133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04982976-2.04987770) × cos(-1.21960810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344013752954847 × 6371000     		do = 105.070655066342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04982976-2.04987770) × cos(-1.21962460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343998259991963 × 6371000     		du = 105.065923116689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21960810)-sin(-1.21962460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344013752954847-0.343998259991963)×R²
    abs(2.04987770-2.04982976)×1.54929628837785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54929628837785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54929628837785e-05×40589641000000     		ar = 11044.9361520134m²