Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108290 / 100012
↖ ↑ ↗
← S 68.314087°
E117.427368°		 ← 112.84 m → S 68.314087°
E117.430115°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.315102°
E117.427368°		 ← 112.83 m →
12 731 m²		 S 68.315102°
E117.430115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826190948486328 y=0.763034820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826190948486328 × 217)
    floor (0.826190948486328 × 131072)
    floor (108290.5)     		tx = 108290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763034820556641 × 217)
    floor (0.763034820556641 × 131072)
    floor (100012.5)     		ty = 100012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108290 / 100012 ti = "17/108290/100012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108290/100012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108290 ÷ 217
    108290 ÷ 131072     		x = 0.826187133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100012 ÷ 217
    100012 ÷ 131072     		y = 0.763031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826187133789062 × 2 - 1) × π
    0.652374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04949421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.52606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65267255130106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04949421} λ = 2.04949421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65267255130106))-π/2
    2×atan(0.191537330638171)-π/2
    2×0.189245293908156-π/2
    0.378490587816312-1.57079632675     		φ = -1.19230574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04949421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.427368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19230574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.314087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108290 KachelY 100012 2.04949421 -1.19230574 117.427368 -68.314087
    Oben rechts KachelX + 1 108291 KachelY 100012 2.04954214 -1.19230574 117.430115 -68.314087
    Unten links KachelX 108290 KachelY + 1 100013 2.04949421 -1.19232345 117.427368 -68.315102
    Unten rechts KachelX + 1 108291 KachelY + 1 100013 2.04954214 -1.19232345 117.430115 -68.315102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19230574--1.19232345) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19230574--1.19232345) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04949421-2.04954214) × cos(-1.19230574) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.369518308741994 × 6371000     		do = 112.836860878646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04949421-2.04954214) × cos(-1.19232345) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.369501852136752 × 6371000     		du = 112.831835656262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19230574)-sin(-1.19232345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369518308741994-0.369501852136752)×R²
    abs(2.04954214-2.04949421)×1.64566052422987e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.64566052422987e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.64566052422987e-05×40589641000000     		ar = 12731.1457776145m²