Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108284 / 100150
↖ ↑ ↗
← S 68.453715°
E117.410888°		 ← 112.17 m → S 68.453715°
E117.413635°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.454723°
E117.410888°		 ← 112.16 m →
12 577 m²		 S 68.454723°
E117.413635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826145172119141 y=0.764087677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826145172119141 × 217)
    floor (0.826145172119141 × 131072)
    floor (108284.5)     		tx = 108284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764087677001953 × 217)
    floor (0.764087677001953 × 131072)
    floor (100150.5)     		ty = 100150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108284 / 100150 ti = "17/108284/100150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108284/100150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108284 ÷ 217
    108284 ÷ 131072     		x = 0.826141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100150 ÷ 217
    100150 ÷ 131072     		y = 0.764083862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826141357421875 × 2 - 1) × π
    0.65228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04920658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764083862304688 × 2 - 1) × π
    -0.528167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65928784344862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04920658} λ = 2.04920658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65928784344862))-π/2
    2×atan(0.190274437049423)-π/2
    2×0.188026808237665-π/2
    0.37605361647533-1.57079632675     		φ = -1.19474271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04920658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.410888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19474271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.453715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108284 KachelY 100150 2.04920658 -1.19474271 117.410888 -68.453715
    Oben rechts KachelX + 1 108285 KachelY 100150 2.04925452 -1.19474271 117.413635 -68.453715
    Unten links KachelX 108284 KachelY + 1 100151 2.04920658 -1.19476031 117.410888 -68.454723
    Unten rechts KachelX + 1 108285 KachelY + 1 100151 2.04925452 -1.19476031 117.413635 -68.454723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19474271--1.19476031) × R
    1.759999999984e-05 × 6371000     		dl = 112.12959999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19474271--1.19476031) × R
    1.759999999984e-05 × 6371000     		dr = 112.12959999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04920658-2.04925452) × cos(-1.19474271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367252724061804 × 6371000     		do = 112.168435013519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04920658-2.04925452) × cos(-1.19476031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3672363538719 × 6371000     		du = 112.163435136153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19474271)-sin(-1.19476031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367252724061804-0.3672363538719)×R²
    abs(2.04925452-2.04920658)×1.63701899043023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63701899043023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63701899043023e-05×40589641000000     		ar = 12577.1214337093m²