Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108282 / 100152
↖ ↑ ↗
← S 68.455732°
E117.405395°		 ← 112.16 m → S 68.455732°
E117.408142°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.456741°
E117.405395°		 ← 112.15 m →
12 576 m²		 S 68.456741°
E117.408142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826129913330078 y=0.764102935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826129913330078 × 217)
    floor (0.826129913330078 × 131072)
    floor (108282.5)     		tx = 108282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764102935791016 × 217)
    floor (0.764102935791016 × 131072)
    floor (100152.5)     		ty = 100152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108282 / 100152 ti = "17/108282/100152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108282/100152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108282 ÷ 217
    108282 ÷ 131072     		x = 0.826126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100152 ÷ 217
    100152 ÷ 131072     		y = 0.76409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826126098632812 × 2 - 1) × π
    0.652252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04911071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.5281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65938371724786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04911071} λ = 2.04911071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65938371724786))-π/2
    2×atan(0.190256195590698)-π/2
    2×0.188009204065646-π/2
    0.376018408131291-1.57079632675     		φ = -1.19477792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04911071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.405395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19477792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.455732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108282 KachelY 100152 2.04911071 -1.19477792 117.405395 -68.455732
    Oben rechts KachelX + 1 108283 KachelY 100152 2.04915865 -1.19477792 117.408142 -68.455732
    Unten links KachelX 108282 KachelY + 1 100153 2.04911071 -1.19479552 117.405395 -68.456741
    Unten rechts KachelX + 1 108283 KachelY + 1 100153 2.04915865 -1.19479552 117.408142 -68.456741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19477792--1.19479552) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19477792--1.19479552) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04911071-2.04915865) × cos(-1.19477792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367219974266899 × 6371000     		do = 112.158432383175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04911071-2.04915865) × cos(-1.19479552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367203603849425 × 6371000     		du = 112.153432436304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19477792)-sin(-1.19479552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367219974266899-0.367203603849425)×R²
    abs(2.04915865-2.04911071)×1.63704174743762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63704174743762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63704174743762e-05×40589641000000     		ar = 12575.999839127m²