Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108282 / 100146
↖ ↑ ↗
← S 68.449680°
E117.405395°		 ← 112.19 m → S 68.449680°
E117.408142°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.450689°
E117.405395°		 ← 112.18 m →
12 587 m²		 S 68.450689°
E117.408142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826129913330078 y=0.764057159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826129913330078 × 217)
    floor (0.826129913330078 × 131072)
    floor (108282.5)     		tx = 108282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764057159423828 × 217)
    floor (0.764057159423828 × 131072)
    floor (100146.5)     		ty = 100146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108282 / 100146 ti = "17/108282/100146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108282/100146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108282 ÷ 217
    108282 ÷ 131072     		x = 0.826126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100146 ÷ 217
    100146 ÷ 131072     		y = 0.764053344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826126098632812 × 2 - 1) × π
    0.652252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04911071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764053344726562 × 2 - 1) × π
    -0.528106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65909609585014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04911071} λ = 2.04911071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65909609585014))-π/2
    2×atan(0.190310925213927)-π/2
    2×0.188062021291549-π/2
    0.376124042583098-1.57079632675     		φ = -1.19467228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04911071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.405395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19467228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.449680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108282 KachelY 100146 2.04911071 -1.19467228 117.405395 -68.449680
    Oben rechts KachelX + 1 108283 KachelY 100146 2.04915865 -1.19467228 117.408142 -68.449680
    Unten links KachelX 108282 KachelY + 1 100147 2.04911071 -1.19468989 117.405395 -68.450689
    Unten rechts KachelX + 1 108283 KachelY + 1 100147 2.04915865 -1.19468989 117.408142 -68.450689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19467228--1.19468989) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19467228--1.19468989) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04911071-2.04915865) × cos(-1.19467228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36731823158663 × 6371000     		do = 112.188442697764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04911071-2.04915865) × cos(-1.19468989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367301852550972 × 6371000     		du = 112.183440118678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19467228)-sin(-1.19468989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36731823158663-0.367301852550972)×R²
    abs(2.04915865-2.04911071)×1.63790356572102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63790356572102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63790356572102e-05×40589641000000     		ar = 12586.5121025389m²