Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108280 / 100104
↖ ↑ ↗
← S 68.407267°
E117.399902°		 ← 112.38 m → S 68.407267°
E117.402649°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.408278°
E117.399902°		 ← 112.37 m →
12 629 m²		 S 68.408278°
E117.402649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826114654541016 y=0.763736724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826114654541016 × 217)
    floor (0.826114654541016 × 131072)
    floor (108280.5)     		tx = 108280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763736724853516 × 217)
    floor (0.763736724853516 × 131072)
    floor (100104.5)     		ty = 100104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108280 / 100104 ti = "17/108280/100104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108280/100104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108280 ÷ 217
    108280 ÷ 131072     		x = 0.82611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100104 ÷ 217
    100104 ÷ 131072     		y = 0.76373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82611083984375 × 2 - 1) × π
    0.6522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04901484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.5274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6570827460661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04901484} λ = 2.04901484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6570827460661))-π/2
    2×atan(0.190694473653129)-π/2
    2×0.188432137728173-π/2
    0.376864275456347-1.57079632675     		φ = -1.19393205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04901484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19393205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.407267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108280 KachelY 100104 2.04901484 -1.19393205 117.399902 -68.407267
    Oben rechts KachelX + 1 108281 KachelY 100104 2.04906277 -1.19393205 117.402649 -68.407267
    Unten links KachelX 108280 KachelY + 1 100105 2.04901484 -1.19394969 117.399902 -68.408278
    Unten rechts KachelX + 1 108281 KachelY + 1 100105 2.04906277 -1.19394969 117.402649 -68.408278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19393205--1.19394969) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19393205--1.19394969) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04901484-2.04906277) × cos(-1.19393205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368006615353182 × 6371000     		do = 112.375247117745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04901484-2.04906277) × cos(-1.19394969) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367990213215173 × 6371000     		du = 112.370238527587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19393205)-sin(-1.19394969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368006615353182-0.367990213215173)×R²
    abs(2.04906277-2.04901484)×1.64021380082424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64021380082424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64021380082424e-05×40589641000000     		ar = 12628.9477737102m²