Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10828 / 4652
↖ ↑ ↗
← N 82.276478°
W120.520020°		 ← 82.09 m → N 82.276478°
W120.514526°		 →
↑
82.06 m
↓
↑
82.06 m
↓
N 82.275740°
W120.520020°		 ← 82.10 m →
6 737 m²		 N 82.275740°
W120.514526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165229797363281 y=0.0709915161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165229797363281 × 216)
    floor (0.165229797363281 × 65536)
    floor (10828.5)     		tx = 10828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0709915161132812 × 216)
    floor (0.0709915161132812 × 65536)
    floor (4652.5)     		ty = 4652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10828 / 4652 ti = "16/10828/4652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10828/4652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10828 ÷ 216
    10828 ÷ 65536     		x = 0.16522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4652 ÷ 216
    4652 ÷ 65536     		y = 0.07098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.6695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10347116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07098388671875 × 2 - 1) × π
    0.8580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.695587739435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10347116} λ = -2.10347116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.695587739435))-π/2
    2×atan(14.8142230982074)-π/2
    2×1.50339587918913-π/2
    3.00679175837826-1.57079632675     		φ = 1.43599543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10347116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.520020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43599543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.276478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10828 KachelY 4652 -2.10347116 1.43599543 -120.520020 82.276478
    Oben rechts KachelX + 1 10829 KachelY 4652 -2.10337528 1.43599543 -120.514526 82.276478
    Unten links KachelX 10828 KachelY + 1 4653 -2.10347116 1.43598255 -120.520020 82.275740
    Unten rechts KachelX + 1 10829 KachelY + 1 4653 -2.10337528 1.43598255 -120.514526 82.275740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43599543-1.43598255) × R
    1.28799999998819e-05 × 6371000     		dl = 82.0584799992474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43599543-1.43598255) × R
    1.28799999998819e-05 × 6371000     		dr = 82.0584799992474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10347116--2.10337528) × cos(1.43599543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134393016709947 × 6371000     		do = 82.0941731588823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10347116--2.10337528) × cos(1.43598255) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134405779852842 × 6371000     		du = 82.1019695436091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43599543)-sin(1.43598255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134393016709947-0.134405779852842)×R²
    abs(-2.10337528--2.10347116)×1.27631428949726e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.27631428949726e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.27631428949726e-05×40589641000000     		ar = 6736.84294632279m²