Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108277 / 100151
↖ ↑ ↗
← S 68.454723°
E117.391663°		 ← 112.14 m → S 68.454723°
E117.394409°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.455732°
E117.391663°		 ← 112.14 m →
12 581 m²		 S 68.455732°
E117.394409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826091766357422 y=0.764095306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826091766357422 × 217)
    floor (0.826091766357422 × 131072)
    floor (108277.5)     		tx = 108277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764095306396484 × 217)
    floor (0.764095306396484 × 131072)
    floor (100151.5)     		ty = 100151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108277 / 100151 ti = "17/108277/100151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108277/100151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108277 ÷ 217
    108277 ÷ 131072     		x = 0.826087951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100151 ÷ 217
    100151 ÷ 131072     		y = 0.764091491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826087951660156 × 2 - 1) × π
    0.652175903320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.04887103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764091491699219 × 2 - 1) × π
    -0.528182983398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65933578034824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04887103} λ = 2.04887103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65933578034824))-π/2
    2×atan(0.190265316101451)-π/2
    2×0.188018005955424-π/2
    0.376036011910848-1.57079632675     		φ = -1.19476031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04887103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.391663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19476031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.454723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108277 KachelY 100151 2.04887103 -1.19476031 117.391663 -68.454723
    Oben rechts KachelX + 1 108278 KachelY 100151 2.04891896 -1.19476031 117.394409 -68.454723
    Unten links KachelX 108277 KachelY + 1 100152 2.04887103 -1.19477792 117.391663 -68.455732
    Unten rechts KachelX + 1 108278 KachelY + 1 100152 2.04891896 -1.19477792 117.394409 -68.455732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19476031--1.19477792) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19476031--1.19477792) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04887103-2.04891896) × cos(-1.19476031) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3672363538719 × 6371000     		do = 112.14003850819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04887103-2.04891896) × cos(-1.19477792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367219974266899 × 6371000     		du = 112.135036798757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19476031)-sin(-1.19477792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3672363538719-0.367219974266899)×R²
    abs(2.04891896-2.04887103)×1.63796050007825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63796050007825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63796050007825e-05×40589641000000     		ar = 12581.0815249748m²