Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108274 / 101649
↖ ↑ ↗
← S 69.916158°
E117.383423°		 ← 104.86 m → S 69.916158°
E117.386169°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.917101°
E117.383423°		 ← 104.86 m →
10 996 m²		 S 69.917101°
E117.386169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826068878173828 y=0.775524139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826068878173828 × 217)
    floor (0.826068878173828 × 131072)
    floor (108274.5)     		tx = 108274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775524139404297 × 217)
    floor (0.775524139404297 × 131072)
    floor (101649.5)     		ty = 101649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108274 / 101649 ti = "17/108274/101649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108274/101649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108274 ÷ 217
    108274 ÷ 131072     		x = 0.826065063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101649 ÷ 217
    101649 ÷ 131072     		y = 0.775520324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826065063476562 × 2 - 1) × π
    0.652130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04872722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775520324707031 × 2 - 1) × π
    -0.551040649414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73114525597909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04872722} λ = 2.04872722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73114525597909))-π/2
    2×atan(0.177081490159103)-π/2
    2×0.17526458887009-π/2
    0.35052917774018-1.57079632675     		φ = -1.22026715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04872722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.383423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22026715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.916158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108274 KachelY 101649 2.04872722 -1.22026715 117.383423 -69.916158
    Oben rechts KachelX + 1 108275 KachelY 101649 2.04877515 -1.22026715 117.386169 -69.916158
    Unten links KachelX 108274 KachelY + 1 101650 2.04872722 -1.22028361 117.383423 -69.917101
    Unten rechts KachelX + 1 108275 KachelY + 1 101650 2.04877515 -1.22028361 117.386169 -69.917101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22026715--1.22028361) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22026715--1.22028361) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04872722-2.04877515) × cos(-1.22026715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343394853663143 × 6371000     		do = 104.859749606194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04872722-2.04877515) × cos(-1.22028361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343379394530662 × 6371000     		du = 104.855028974118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22026715)-sin(-1.22028361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343394853663143-0.343379394530662)×R²
    abs(2.04877515-2.04872722)×1.54591324806885e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54591324806885e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54591324806885e-05×40589641000000     		ar = 10996.0441915567m²