Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108272 / 101704
↖ ↑ ↗
← S 69.967967°
E117.377930°		 ← 104.62 m → S 69.967967°
E117.380676°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.968908°
E117.377930°		 ← 104.62 m →
10 944 m²		 S 69.968908°
E117.380676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826053619384766 y=0.775943756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826053619384766 × 217)
    floor (0.826053619384766 × 131072)
    floor (108272.5)     		tx = 108272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775943756103516 × 217)
    floor (0.775943756103516 × 131072)
    floor (101704.5)     		ty = 101704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108272 / 101704 ti = "17/108272/101704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108272/101704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108272 ÷ 217
    108272 ÷ 131072     		x = 0.8260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101704 ÷ 217
    101704 ÷ 131072     		y = 0.77593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8260498046875 × 2 - 1) × π
    0.652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04863134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.5518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73378178545819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04863134} λ = 2.04863134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73378178545819))-π/2
    2×atan(0.17661522452174)-π/2
    2×0.174812463611776-π/2
    0.349624927223552-1.57079632675     		φ = -1.22117140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04863134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22117140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.967967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108272 KachelY 101704 2.04863134 -1.22117140 117.377930 -69.967967
    Oben rechts KachelX + 1 108273 KachelY 101704 2.04867928 -1.22117140 117.380676 -69.967967
    Unten links KachelX 108272 KachelY + 1 101705 2.04863134 -1.22118782 117.377930 -69.968908
    Unten rechts KachelX + 1 108273 KachelY + 1 101705 2.04867928 -1.22118782 117.380676 -69.968908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22117140--1.22118782) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22117140--1.22118782) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04863134-2.04867928) × cos(-1.22117140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342545449810102 × 6371000     		do = 104.622197491815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04863134-2.04867928) × cos(-1.22118782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34253002315326 × 6371000     		du = 104.617485793733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22117140)-sin(-1.22118782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342545449810102-0.34253002315326)×R²
    abs(2.04867928-2.04863134)×1.54266568425099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54266568425099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54266568425099e-05×40589641000000     		ar = 10944.4720425927m²