Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108272 / 101702
↖ ↑ ↗
← S 69.966086°
E117.377930°		 ← 104.63 m → S 69.966086°
E117.380676°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.967026°
E117.377930°		 ← 104.63 m →
10 945 m²		 S 69.967026°
E117.380676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826053619384766 y=0.775928497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826053619384766 × 217)
    floor (0.826053619384766 × 131072)
    floor (108272.5)     		tx = 108272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775928497314453 × 217)
    floor (0.775928497314453 × 131072)
    floor (101702.5)     		ty = 101702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108272 / 101702 ti = "17/108272/101702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108272/101702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108272 ÷ 217
    108272 ÷ 131072     		x = 0.8260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101702 ÷ 217
    101702 ÷ 131072     		y = 0.775924682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8260498046875 × 2 - 1) × π
    0.652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04863134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775924682617188 × 2 - 1) × π
    -0.551849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73368591165895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04863134} λ = 2.04863134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73368591165895))-π/2
    2×atan(0.176632158106049)-π/2
    2×0.174828884918187-π/2
    0.349657769836373-1.57079632675     		φ = -1.22113856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04863134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22113856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.966086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108272 KachelY 101702 2.04863134 -1.22113856 117.377930 -69.966086
    Oben rechts KachelX + 1 108273 KachelY 101702 2.04867928 -1.22113856 117.380676 -69.966086
    Unten links KachelX 108272 KachelY + 1 101703 2.04863134 -1.22115498 117.377930 -69.967026
    Unten rechts KachelX + 1 108273 KachelY + 1 101703 2.04867928 -1.22115498 117.380676 -69.967026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22113856--1.22115498) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22113856--1.22115498) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04863134-2.04867928) × cos(-1.22113856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		do = 104.631620803354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04863134-2.04867928) × cos(-1.22115498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342560876374589 × 6371000     		du = 104.626909161689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22113856)-sin(-1.22115498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342576302846716-0.342560876374589)×R²
    abs(2.04867928-2.04863134)×1.54264721266006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54264721266006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54264721266006e-05×40589641000000     		ar = 10945.457835184m²