Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108272 / 100135
↖ ↑ ↗
← S 68.438580°
E117.377930°		 ← 112.24 m → S 68.438580°
E117.380676°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.439589°
E117.377930°		 ← 112.24 m →
12 593 m²		 S 68.439589°
E117.380676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826053619384766 y=0.763973236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826053619384766 × 217)
    floor (0.826053619384766 × 131072)
    floor (108272.5)     		tx = 108272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763973236083984 × 217)
    floor (0.763973236083984 × 131072)
    floor (100135.5)     		ty = 100135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108272 / 100135 ti = "17/108272/100135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108272/100135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108272 ÷ 217
    108272 ÷ 131072     		x = 0.8260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100135 ÷ 217
    100135 ÷ 131072     		y = 0.763969421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8260498046875 × 2 - 1) × π
    0.652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04863134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763969421386719 × 2 - 1) × π
    -0.527938842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.65856878995432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04863134} λ = 2.04863134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65856878995432))-π/2
    2×atan(0.190411303749602)-π/2
    2×0.188158889576819-π/2
    0.376317779153637-1.57079632675     		φ = -1.19447855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04863134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19447855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.438580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108272 KachelY 100135 2.04863134 -1.19447855 117.377930 -68.438580
    Oben rechts KachelX + 1 108273 KachelY 100135 2.04867928 -1.19447855 117.380676 -68.438580
    Unten links KachelX 108272 KachelY + 1 100136 2.04863134 -1.19449616 117.377930 -68.439589
    Unten rechts KachelX + 1 108273 KachelY + 1 100136 2.04867928 -1.19449616 117.380676 -68.439589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19447855--1.19449616) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19447855--1.19449616) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04863134-2.04867928) × cos(-1.19447855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367498412060176 × 6371000     		do = 112.243474452231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04863134-2.04867928) × cos(-1.19449616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367482034277936 × 6371000     		du = 112.23847225597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19447855)-sin(-1.19449616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367498412060176-0.367482034277936)×R²
    abs(2.04867928-2.04863134)×1.63777822402844e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63777822402844e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63777822402844e-05×40589641000000     		ar = 12592.6863185437m²