Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108271 / 100110
↖ ↑ ↗
← S 68.413331°
E117.375183°		 ← 112.35 m → S 68.413331°
E117.377930°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.414342°
E117.375183°		 ← 112.34 m →
12 626 m²		 S 68.414342°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826045989990234 y=0.763782501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826045989990234 × 217)
    floor (0.826045989990234 × 131072)
    floor (108271.5)     		tx = 108271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763782501220703 × 217)
    floor (0.763782501220703 × 131072)
    floor (100110.5)     		ty = 100110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108271 / 100110 ti = "17/108271/100110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108271/100110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108271 ÷ 217
    108271 ÷ 131072     		x = 0.826042175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100110 ÷ 217
    100110 ÷ 131072     		y = 0.763778686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826042175292969 × 2 - 1) × π
    0.652084350585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.04858341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    -0.527557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65737036746382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04858341} λ = 2.04858341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65737036746382))-π/2
    2×atan(0.190639633729025)-π/2
    2×0.188379221516105-π/2
    0.37675844303221-1.57079632675     		φ = -1.19403788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04858341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.375183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19403788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.413331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108271 KachelY 100110 2.04858341 -1.19403788 117.375183 -68.413331
    Oben rechts KachelX + 1 108272 KachelY 100110 2.04863134 -1.19403788 117.377930 -68.413331
    Unten links KachelX 108271 KachelY + 1 100111 2.04858341 -1.19405552 117.375183 -68.414342
    Unten rechts KachelX + 1 108272 KachelY + 1 100111 2.04863134 -1.19405552 117.377930 -68.414342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19403788--1.19405552) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19403788--1.19405552) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04858341-2.04863134) × cos(-1.19403788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367908210106245 × 6371000     		do = 112.345197891778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04858341-2.04863134) × cos(-1.19405552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367891807281334 × 6371000     		du = 112.340189091866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19403788)-sin(-1.19405552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367908210106245-0.367891807281334)×R²
    abs(2.04863134-2.04858341)×1.64028249109993e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64028249109993e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64028249109993e-05×40589641000000     		ar = 12625.5706966061m²