Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108270 / 42608
↖ ↑ ↗
← N 53.146770°
E117.372437°		 ← 183.18 m → N 53.146770°
E117.375183°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 53.145123°
E117.372437°		 ← 183.19 m →
33 554 m²		 N 53.145123°
E117.375183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826038360595703 y=0.325077056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826038360595703 × 217)
    floor (0.826038360595703 × 131072)
    floor (108270.5)     		tx = 108270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325077056884766 × 217)
    floor (0.325077056884766 × 131072)
    floor (42608.5)     		ty = 42608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108270 / 42608 ti = "17/108270/42608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108270/42608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108270 ÷ 217
    108270 ÷ 131072     		x = 0.826034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42608 ÷ 217
    42608 ÷ 131072     		y = 0.3250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826034545898438 × 2 - 1) × π
    0.652069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04853547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3250732421875 × 2 - 1) × π
    0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04853547} λ = 2.04853547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09909723448865))-π/2
    2×atan(3.00145519027732)-π/2
    2×1.24919122792532-π/2
    2.49838245585064-1.57079632675     		φ = 0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04853547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.372437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108270 KachelY 42608 2.04853547 0.92758613 117.372437 53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 108271 KachelY 42608 2.04858341 0.92758613 117.375183 53.146770
    Unten links KachelX 108270 KachelY + 1 42609 2.04853547 0.92755738 117.372437 53.145123
    Unten rechts KachelX + 1 108271 KachelY + 1 42609 2.04858341 0.92755738 117.375183 53.145123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92758613-0.92755738) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dl = 183.166250000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92758613-0.92755738) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dr = 183.166250000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04853547-2.04858341) × cos(0.92758613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 183.184354636542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04853547-2.04858341) × cos(0.92755738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599790249785018 × 6371000     		du = 183.191380885254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92758613)-sin(0.92755738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599790249785018)×R²
    abs(2.04858341-2.04853547)×2.30047693828839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30047693828839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30047693828839e-05×40589641000000     		ar = 33553.834785729m²